数值计算课后答案2.doc

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1、习题二解答1．用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过。分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。由有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000，所以n＝11，即只需要二分11次即可。列表讨论如下：nanbnxnf(xn)的符号1343.500－23.50043.750＋33.5003.7503.625－43.6253.7503.688＋53.6253.6883.657＋63.6253.6573.64

2、1＋73.6253.6413.633＋83.6253.6333.629－93.6293.6333.631－103.6313.6333.632＋113.6313.6323.632－x*≈x11=3.632。指出：（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：nanbnxnf(xn)的符号1343.5000－23.500043.7500＋33.50003.75003.6250－43.62503.75003.6875＋

3、53.62503.68753.6563＋1563.62503.65633.6407＋73.62503.64073.6329＋83.62503.63293.6290－93.62903.63293.6310－103.63103.63293.6320＋113.63103.63203.6315－（3）用秦九韶算法计算f(xn)比较简单。1*．求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。解：令，则当时，有。函数单调区间列表分析如下：x(-∞,)2(2,+∞)y／+0－0+y－15因为，所以方程在区间上无根；因为，而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方

4、程在该区间上无根；因为，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。2．证明在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令，因为，15则，由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。由有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000所以n＝15

5、，即需要二分15次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3．试用迭代公式，求方程的根，要求精确到。分析：精确到即误差不超过解：令列表进行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.000

6、38131.368820.00025141.36881151.3688115指出：精确到可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到，当终止计算。本题采用第一种方法。4．将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，要求精确到。解：改写为，则，设有在处，因为所以迭代法在的邻域内收敛。列表迭代如下：00．510．7120．6930．69此时。5．为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：15试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字

7、的近似值。解：（1）因为，所以迭代函数为，则，满足局部收敛性条件，所以迭代公式具有局部收敛性。（2）因为,所以迭代函数为,则,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。（3）因为，所以迭代函数为，则，不满足收敛性条件，所以迭代公式不具有收敛性。用迭代公式列表计算如下：1501．511．44421．48031．45741．47151．46261．46871．46481．46791．465101．466111．465所以，方程的近似根为。6．设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？解：设C为常数，因为，所以，要使迭代公式具有局部收敛性，需，此

8、时即有，也即。即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。指出：本题的一般形式为：设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？显然