2010全国初中数学竞赛试题及参考答案.doc

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）EdIGbSrxq71．若，则的值为<）．

2、135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为<）．EdIGbSrxq71(B>2(C>3(D>4EdIGbSrxq7解：B由和可得，，，，

3、，，，，……因为2010=4×502+2，所以=2．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A<1，1），B<2，－1），C<－2，－1），D<－1，1）．y轴上一点P<0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是<）．EdIGbSrxq7<第5题）

4、解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为<2，0），<2，）．记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，，．令，同样可以求得，点的坐标为<），即<8/8），由于2010=4502+2，所以点的坐标为<2010，）．二、填空题6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．解：0由已知得(a＋1>2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在

5、前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．EdIGbSrxq7解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千M，小轿车、货车、客车的速度分别为<千M/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得EdIGbSrxq7，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故<分）．<第8题8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O<0，0），A<0，6），B<4，6），C<4，4），D<6，

6、4），E<6，0）．若直线l经过点M<2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．EdIGbSrxq7<第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M<2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N<5，2）是矩形CDEF的8/8中心，所以，EdIGbSrxq7过点N<5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为

7、，则解得,故所求直线的函数表达式为．<第9题）9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．EdIGbSrxq7解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即，解得，或<舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．EdIGbSrxq7解：因为为的倍数，所以的最小值

8、满足，8/8其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：<第12A题）．EdIGbSrxq7<第12B题）<第11题）<第12B题）证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D