第6讲 函数与导数的综合应用.doc

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1、自主招生专题讲座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！第六讲函数与导数的综合应用要点梳理1.考查导数研究函数的单调性、极值、最值的基本步骤，考查对含参数问题进行分情况讨论的能力；2.考查将实际问题中的最优化问题转化为函数的最值问题来解决的能力，灵活运用数形结合思想求解问题；3.考查转化与迁移的能力，会能根据已知条件构造合适的函数，将方程、不等式问题转化函数问题来处理。典例分析1.（2012年复旦）分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.2.（2010年华约）设函数，对于任意的实数是的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.

2、设函数满足下列条件：（1）是定义在R上的奇函数；（2）对任意的，当时，有。则下列不等式中不一定成立的是（）A.B.C.D.4.（2007年北大）设，则=5.（2011年清华保送）求函数的最小值.8自主招生专题讲座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！6.已知是曲线E：上的两点，且，求证：过P、Q分别作曲线E的切线的交点的横坐标恒为正.7.（2011卓越联盟）（1）设，求常数C，使得取得最小值；（2）记（1）中的最小值为，证明：8.（2011年清华保送）设函数式定义在上的非负函数，对于任意，有，证明：.9.（2011年北大夏令营）实数集上有定义的实值函数，问是否存在，对任意,有8自主招生专题讲

3、座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！10.（2012年卓越联盟）已知函数，其中是非零实数，（1）求的单调区间；（2）若，设，且证明：；（3）若有最小值，且，证明：练习与作业1.(复旦招生)已知函数的定义域为（0，1），则函数在时的定义域为（）A.B.C.D.2.（湖南高考）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．3.(浙江高考）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是()A．若，，则B．若，，且，则C．若，，则D．若，，且，则8自主招生专题讲座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！4.（浙江竞赛）对a,bR,记max{a,b}

4、=，函数f（x）＝max{

5、x+1

6、,

7、x-2

8、}(xR)的最小值是（　　）(A)0(B)(C)(D)36.（广东竞赛）方程在区间上的实根个数为_________________.7.(浙江20090423高考)已知函数，，其中．（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．8.（河北竞赛）设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：（1）（）；（2）时，．8自主招生专题讲座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！练习与作业答案1.(复旦招

9、生)已知函数的定义域为（0，1），则函数在时的定义域为（）A.B.C.D.分析：由得，从而，故选D2.（湖南高考）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．【思路导引】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。【完全解答】D3.(浙江高考）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是()A．若，，则B．若，，且，则C．若，，则D．若，，且，则【思路导引】对于，即，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．【完全解答】C4.（浙江竞赛）对a,bR,记max{a,b}=，函数f（x）＝max{

10、x+1

11、,

12、x-2

13、

14、}(xR)的最小值是（　　）(A)0(B)(C)(D)3【思路导引】当x<－1时，

15、x＋1

16、＝－x－1，

17、x－2

18、＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，

19、x＋1

20、＝x＋1，

21、x－2

22、＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<8自主招生专题讲座没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，

23、x＋1

24、＝x＋1，

25、x－2

26、＝x－2，显然x＋1>x－2；故据此求得最小值为【解析】6.（广东竞赛）方程在区间上的实根个数为_________________.【思路导引】设，则，∵，∴，又，∴，即

27、在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.【完全解答】17.(浙江20090423高考)已知函数，，其中．（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【思路导引】本题第（1）问首先应理解在区间上不单调，也即在上有实数解，且无重根；第（2）问分和分类讨论。【完全解答】（I）因，，因在区间上不单调，