..函数单调性与导数.doc

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1、选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是(  )A.b2-4ac>0      B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<0[答案] D[解析] ∵a>0,f(x)为增函数,∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立,∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0.2.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  )A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单

2、应用.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故选D.3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为(  )A.[-1,+∞)B.(-∞,2]C.(-∞,-1)和(1,2)D.[2,+∞)[答案] B[解析] 令k≤0得x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2].4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(  )[答案] C

3、[解析] 当01时xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.5.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是(  )A.和B.和C.和D.和[答案] A[解析] y′=xcosx,当-π0,当00,∴y′=xcosx>0.6.下列命题成立的是(  )A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x∈(a,b),都有f′(x)>0B.若在(a,b)

4、内对任何x都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f′(x)必存在D.若f′(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数[答案] B[解析] 若f(x)在(a,b)内是增函数,则f′(x)≥0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)=2在(a,b)上的导数为f′(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错.7.(2007·福建理,11)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时(  )A

5、.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0[答案] B[解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),∴x<0时,f′(x)>0,g′(x)<0.8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a

6、0,f(x)≥0,∴f′(x)≤-,即f(x)在(0,+∞)上是减函数,又0<a<b,∴af(b)≤bf(a).9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有(  )A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)[答案] C[解析] 由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.10.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直

7、)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图像大致为(  )[答案] A[解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.二、填空题11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.[答案] b<-1或b>2[解析] 若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意b<-1或b>2.12.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>

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