第11课时——函数的奇偶性(2)教师版.doc

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1、听课随笔第十一课时函数的奇偶性(2)【学习导航】学习要求1.熟练掌握判断函数奇偶性的方法;2.熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质;3.能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.【精典范例】一.函数的单调性和奇偶性结合性质推导:例1:已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问:F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论思维分析:根据函数单调性的定义,可以设x1-x2>0因为y=f(x)在(0,+∞]上是增函数,且f(x)<0,

2、所以f(-x2)f(x1)>0于是F(x1)-F(x2)=-所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数。【证明】设,则,∵在上是增函数,∴,∵是奇函数,∴,,∴,∴,∴在上也是增函数.说明:一般情况下,若要证在区间上单调,就在区间上设.二.利用函数奇偶性求函数解析式:例2:已知是定义域为的奇函数,当x>0时,f(x)=x

3、x-2

4、,求x<0时,f(x)的解析式.解:设x<0,则-x>0且满足表达式f(x)=x

5、x-2

6、所以f(-x)=-x

7、-x-2

8、=-x

9、x+

10、2

11、又f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x)所以-f(x)=-x

12、x+2

13、所以f(x)=x

14、x+2

15、故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x

16、x+2

17、.3:定义在(-2,2)上的奇函数在整个定义域上是减函数,若f(m-1)+f(2m-1)>0,求实数m的取值范围.解:因为f(m-1)+f(2m-1)>0所以f(m-1)>-f(2m-1)因为f(x)在(-2,2)上奇函数且为减函数所以f(m-1)>f(1-2m)所以所以

18、.f(-)≥f(a2-a+1)C.f(-)>f(a2-a+1)D.与a的取值无关2.定义在上的奇函数,则常数0,0;3.函数是定义在上的奇函数,且为增函数,若,求实数a的范围。解:定义域是即又是奇函数在上是增函数即解之得故a的取值范围是思维点拔:一、函数奇偶性与函数单调性关系   若函数是偶函数,则该函数在关于"0"对称的区间上的单调性是相反的,且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数;若函数是奇函数,则该函数在关于"0"对称区间上的点调性是相同的.追踪训练1.已知是偶函数,其图象与轴共有四个交点,则方程的所有实数解的和是      (C)420不能确定2.定义在(-∞,+∞)

19、上的函数满足f(-x)=f(x)且f(x)在(0,+∞)上,则不等式f(a)bC.

20、a

21、<

22、b

23、D.0≤ab≥03.是奇函数,它在区间(其中)上为增函数,则它在区间上(D)A.是减函数且有最大值B.是减函数且有最小值C.是增函数且有最小值D.是增函数且有最大值4已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8,且f(-5)=-15,则f(5)=31.5.定义在实数集上的函数f(x),对任意,有且。(1)求证;(2)求证:是偶函数。解(1)令,则有(2)令,则有这说明是偶函数学生质疑教师释疑听课随笔【师生互动】

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