放缩法证明数列不等式问题的方法.doc

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1、放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。1、先放缩再求和例1（05年湖北理）已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足，证明：，分析：由条件得：……以上各式两边分别相加得：=本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。例2（04全国三）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整

2、数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项,公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，（2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的关键是并项

3、后进行适当的放缩。1、先求和再放缩例3（武汉市模拟）定义数列如下：证明：（1）对于恒有成立。（2）当，有成立。（3）。分析：（1）用数学归纳法易证。（2）由得：……以上各式两边分别相乘得：，又（3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。