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1、第三章导数与微分目录3.1导数的概念3.4函数的微分3.2导数的基本公式与运算法则3.3几种特殊函数的求导方法§3.1导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题取极限得如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即2.切线问题割线的极限位置——切线位置二、导数的定义定义其它形式即关于导数的说明：根据导数的定义，求函数导数的步骤:例1解例2解更一般地例如,例3解例4解例5解2.右导数:单侧导数1.左导数:例6解三、导数
2、的几何意义切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为例7解根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为所求切线方程为法线方程为四、函数可导性与连续性的关系另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如,0§3.2导数的基本公式与运算法则一、基本初等函数的导数公式二、导数的四则运算三、复合函数的导数一、基本初等函数的导数公式二、导数的四则运算定理证(3)证(1)、(2)略.例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得三、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证推广例6解例
3、7解例8解例9解例10解3、3几种特殊函数的求导方法一、隐函数的导数二、反三角函数的导数三、对数求导法四、由参数方程所确定的函数求导方法五、高阶导数一、隐函数的导数1复习:函数的表示法(1)直接表示:解析式y=f(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数(2)间接表示由一个方程F(x,y)=0所确定的函数例可确定函数,由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程:t是参数方法(1)表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.2隐函数的定义一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的
4、y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数隐函数的求导方法:(1)将方程F(x,y)=0两端对x求导,在求导过程中要记住y是x的函数;y的函数是x的复合函数.隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得例2求由方程所确定的隐函数x=0处的导数因为当x=0时,从原方程得y=0,所以解把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等,由此得所以例3解所求切线方程为例4解二、反函数的求导法则定理或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.于是有证例5解同理可得特别地例6解三、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求
5、导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:一般地例7解等式两边取对数得例8解等式两边取对数得四、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得例9解所求切线方程为例10解五、高阶导数引例变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,例11解例12解例13解例14解例15解同理可得莱布尼兹公式高阶导数的运算法则:例16解3、4函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用一、微分的定义实例:正
6、方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.定义定理证(1)必要性(2)充分性例1解二、微分的几何意义几何意义:(如图)MNT）PQ三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式3.复合函数的微分法则2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解四、微分形式的不变性例5解例4解五、微分在近似计算中的应用 1.计算函数增量的近似值例6解2.函数的近似计算例7解常用近似公式证明例4解这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得:如果直接开方,可得将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为的近似值,其误差不超过0.0
7、01,这样的误差在一般应用上已经够精确了.
