第二章圆锥曲线与方程(3).doc

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1、第六讲　圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它是解析法的应用，数形结合思想方法的良好体现.圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的横向联系也是本节知识的重点内容.解决本类问题的分析思想与方法是可循的，重要的是要善于掌握圆锥曲线知识间的横向与纵向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线

2、的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.［特别提醒］1．要注重基础，掌握好基础知识、基本题型、基本方法，多做一些选择题与填空题，尽是不

3、出现“看起来题会，做起来不对，出考场后悔”的现象；2．重视对数学思想、方法的训练、归纳与提炼，达到优化解题思路、简化解题过程的效果；3．以方程形式给定的直线与圆锥曲线的方程，对直线与圆锥曲线相交问题利用韦达定理整体处理，能起到简化解题的运算量；4．在圆锥曲线的变化过程中，引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及之间构成函数关系，运用函数思想处理这类问题较为方便；5．由于圆锥曲线都具有对称性，因此可以使分散的条件相对集中，减少一些变量与未知量，也可起到简化计算，促使问题的解决；6．要从学科的整体高度来考虑问题，在知识网络交汇点上思考问题，对于

4、综合题型、应用题型和探索题型应给予高度的重视。[基础闯关]1．动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必经过定点（）（A）（B）（C）（D）2．设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于（）（A）0（B）1（C）2（D）43．（2006年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)（A）2（B）6（C）4（D）124．（2006年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．5．过抛物

5、线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于两点，是坐标原点，则的面积等于　　　　　　　。6．已知点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，则的取值范围是　　　　　　　　。[典例精析]QPNMFO例1．(2005年全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．［剖析］求出四边形的面积的表达式，转化为函数的单调性进行讨论。［解］解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为

6、=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得故四边形面积令=得∵=≥2,当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数∴②当=0时，MN为椭圆长轴，

7、MN

8、=2，

9、PQ

10、=。∴S=

11、PQ

12、

13、MN

14、=2综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。［警示］由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的

15、关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。［变式训练］：例2．如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=

16、

17、AB

18、－

19、CD

20、

21、(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.［剖析］第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将

22、

23、AB

24、－

25、CD

26、

27、化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.［解］(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次

28、为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1，∴椭圆的焦点为F1(－1,0),