z变换与拉普拉斯变换的关系.pptx

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1、1、序列的Z变换与拉普拉斯变换的关系拉普拉斯变化：拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式(式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s）。Z变换：可将时域信号变换为在复频域的表达式。所以说拉普拉斯变换与Z变换都是把函数从时域变换到复数域。Z变换的基本思想来自拉普拉斯变换一、序列Z变换与取样信号拉普拉斯变换的关系取样信号的的拉普拉斯变换为而x(n)(=)）的z变换上式和下式比较可得，当Z=时，序列的Z变换就等于其拉普拉斯变换，即X(z)

2、=这说明，从序列的拉普

3、拉斯变换到序列的Z变换，就是说由复变量S平面到复变量Z平面的映射变换，其映射关系为Z=和S=为了更清楚地表达这个映射关系。将s写成直角坐标的形式s=δ+jΩ而将z写成极坐标的形式z=r这样将s平面变换到z平面上后可以写成z=r=用z的模为，它仅对应于s的实部δ，z的幅角为，它仅对应于s的虚部Ω。二、序列z变换与连续时间信号拉普拉斯变换的关系1、采样序列的拉普拉斯变换和连续信号的拉普拉斯变换间的关系，由式（2—62）可知由式（2-5）可知所以上式是连续时间信号的拉普拉斯变换与采样信号的拉普拉斯变换的关系

4、，它表明时域采样后使信号的拉普拉斯变换在s平面上沿虚轴周期延拓，在利用X(z)

5、=即得连续时间信号的拉普拉斯变换与取样序列z变换间的关系为2、序列的z变换与傅里叶变换的关系傅里叶变换：将时域问题转换到频域来解决。Z变换时傅里叶变换在离散时间信号和系统中的推广。将z表示为z=r，按z变换的定义X(z)可写成这个式子可以看成x(n)乘以指数序列后的傅里叶变换。傅里叶变换的收敛条件：1、在任何一个周期内必须模可积。2、在任何一个周期内的极大值和极小值的个数有限。3、在任何一个周期内只有有限个数的间断点。应用

6、收敛条件1因为乘上了实指数序列，所以如果x(n)的傅里叶变换不收敛，则其z变换也可能收敛。所以就将许多不满足绝对可和的序列展成了指数序列之和。例：单位阶跃序列u(n)不是绝对可和的，从而其傅里叶变换不收敛，然而当

7、r

8、>1时，则u(n)绝对可和，因此单位阶跃序列u(n)的z变换在收敛域1<

9、z

10、<∞上存在的。单位圆上的z变换即序列的傅里叶变换。在单位圆

11、z

12、=1上,r=1,所以，如果序列的z变换的收敛域包括单位圆，则单位圆上的z变换即序列的频谱，这是频谱与z变换只是一种符号代换。3、序列的傅里叶变换与

13、拉普拉斯变换（双边）的关系序列的傅里叶变换可看做其拉普拉斯变换（双边）在虚轴上的特例。令s=jΩ,由可得Ω=ω/T,说明在虚轴上的拉普拉斯变换，即理想取样信号的频谱（序列的傅里叶变换），是其相应在连续时间信号频谱的周期延拓；这种频谱周期重复的现象，体现在z变换中为=的周期函数，即随Ω的变换在单位圆上重复循环。