数学人教版八年级上册最短路径.4 最短路径.ppt

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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题学习目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。2．能通过逻辑推理证明所求距离最短。学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．请问哪条路最近？如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？两点之间，线段最短。两点在一条直线异侧已知：如图，A,B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。两点在一条直线异侧已知：如图，A,B在直线L的异侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。思考：为什么这样就

2、能得到最短距离呢？根据：两点之间，线段最短。两点在一条直线同侧已知：如图，A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。两点在一条直线同侧已知：如图，A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。作法：1、作点B关于直线L的对称点B′。2、连接AB′,交直线L于点P，则点P即为所求。为什么这样做就能等到最短距离呢？三角形任意两边之和大于第三边。两点在一条直线同侧已知：如图，A、B在直线L的同侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。作法：1、作点B关于直线L的对称点B′。2、连接AB′,交直线L于点P，则点P即为所求。为什

3、么这样做就能等到最短距离呢？如图，在直线l上任取一点M（与点P不重合），连接AM，BM，B′M．由轴对称的性质知，BM=B′M,BP=B′P．∴AP+BP=AP+B′P=AB′，AM+BM=AM+B′M在△AB′m中，AB′＜AM+B′M，∴AP+BP＜AM+BM．即AP+BP最短．前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”(两点之间，线段最短）、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新

4、知问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你也学习了轴对称的知识，那你想知道他是如何解决这个问题的吗？探索新知BAl1、这是一个实际问题，你首先打算做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al把这个实际问题抽象为数学问题2、

5、现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C归纳：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′运用新知练习1如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后

6、将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥2、如图，有A,B两个村庄，他们想在河流L的边上建立一个水泵站，请问这个水泵站应该建立在哪里使得铺设管道最少？村庄B．村庄A．————————河流L归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？教科

7、书复习题13第15题．布置作业