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1、第六章 循环码与BCH码第一节 基本定义循环码是线性分组码中应用最广泛的一类码。它有两个重要的特点：1、码的结构可以用代数方法来表示、分析和构造。2、利用循环特性，可以用循环反馈移位寄存器来构造较为简单方便的编码器和译码器。循环码：设C是码长为n，信息位为k,监督位为r的(n,k)线性分组码的任意一个码字，如果C的每一次循环移位也是码字，则把具有这种循环移位特点的码称为循环码(CyclicCodes)。即如果C=[cn-1,cn-2,…,c1,c0]是一个码字则C1=[cn-2,cn-3,…,c0,cn-1]C2=[cn-3,cn-4,…,cn-1,cn-2]……
2、Cn-1=[c0,cn-1,…,c2,c1]都是码字例如，第五章中表5-2中所列的(7,3)码，就是具有这种循环特性的循环码。（P176）关于循环码强调两点：1、本书讨论的循环码首先是一个线性分组码。2、循环码具有循环移位特性。例6-1：判断下面三组码字的特点。000110011101000100011111000100010001C1=C2=C3=C1是线性循环码，C2是非循环的线性分组码，C3是非线性的循环码。码多项式与n重码相对应的n-1次多项式C(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0[6-1]称为码多项式。例如：码字C=[001011
3、1]所对应的码多项式为C(x)=x4+x2+x+1假如已知码多项式C(x)=x7+x3+x+1，则可求出对应的码字C=10001011实际上，将(n,k)循环码的一个码字C=[cn-1,cn-2,…,c1,c0]所对应的码多项式循环左移一位，即相当于对码多项式乘以x并除以xn+1后所得的余式，刚好是将码字C循环移位一次后所得码字(cn-2,cn-3,…,c0,cn-1)的码多项式，即下面关系式成立：x(cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0)=cn-1xn+cn-2xn-1+…+c1x2+cnx≡cn-2xn-1+cn-3xn-2+…+c1x2+cn
4、x+cn-1mod(xn+1)(n,k)循环码的每个码字必处在以xn+1为模运算的剩余类的某一类中。生成多项式在(n,k)循环码的2k个码字中，取一个前k-1位皆为0的码字，此码字对应有一个次数最低，且为n-k=r的多项式g(x)，其它码字所对应的码多项式都是g(x)的倍式，则称g(x)生成该码，并且称g(x)为该码的生成多项式。可见生成多项式具有以下特征：g(x)=xr+gr-1xr-1+…+g2x2+g1x+g0g0≠0r=n-k如果g(x)为(n,k)循环码的最低次多项式，即生成多项式时，xg(x),x2g(x),…,xk-1g(x)都是码字，这k个码字是独
5、立的，故可作为码的一组生成基底，使每个码多项式都是这一组基底的线性组合。例如P176例5-1由此看来，找到合适的g(x)是构造循环码的关键。在这方面需要用到有限域的知识。第二节 有限域中的运算规则运算自封：一个集合中的元素经过某种运算（例如加减乘除）后仍为集合中的元素时，称为运算自封。域：运算自封元素的集合叫做域F（Field）。域中的元素相加a+b和相乘ab满足下列关系：D：满足分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc当域中元素为有限数p时，称为有限域或p元域，有限域理论是由数学家伽罗华（Galols）所创立的，因此又称为伽罗华域，并记为GF(p
6、)。普通代数中全体有理数的集合叫有理域，全体实数的集合叫实数域。全体复数的集合叫复数域。它们都是无限域。经常用到的有限域是二元域GF(2)，它有两个元素“0”和“1”，其加法和乘法分别为：加法 乘法0+0＝0 0*0＝00+1＝1 0*1＝01+0＝1 1*0＝01+1＝0 1*1＝1系数在GF(2)中的多项式叫做二元域上的多项式。二元域上多项式的加减乘除等运算在原理上和普通代数多项式的运算相同。例如：对码字多项式C(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0有xi+xi＝0,ci+ci＝0,ci2=ci.
7、ci＝ci并且减法就是加法。加法符号为“ ”或简记为“+”。证：因C2(x)＝(cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0)2=(cn-1xn-1)2+2cn-1xn-1(cn-2xn-2+…+c1x+c0)+(cn-2xn-2+…+c1x+c0)2考虑到cn-12＝cn-1，上式包括2作系数的第二项乘积为0，将第三项类似地逐步展开，就可以得出C2(x)＝cn-1x2(n-1)+cn-2x2(n-2)+…+c1x2+c0=C(x2)例6-2 试证明对上述二元域上码多项式C(x),有C2(x)＝C(x2)定理：设d(x)和g(x)是二元域上的两个多项式。
8、则有唯一的
