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《第三节 向量组的线性相关性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、主要内容向量组等价向量组的线性相关性用定义判别线性相关性第三节向量组的线性相关性线性相关性的判别定理极大线性无关组方程组与向量组的关系的进一步研究一、向量组等价以下我们在一固定的数域P上的n维向量空间中讨论1.线性表出定义10向量称为向量组1,2,…,s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,…,ks,使=k11+k22+…+kss.这时也称向量可由向量组1,2,…,s线性表出.2.n维单位向量设则称向量1,2,…,n为n维单位向量.显然，任一n维向量=(a1,a2,…,an)均可由n维单位向量线性表出.因为=a11+a22+…+ann.线性表出
2、的意义在于：若向量可由向量组1,2,…,s线性表出,则在由向量组,1,2,…,s所确定的线性方程组中，所对应的方程可由其他方程线性表出，这时所对应的方程在决定方程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方程.例如，设有方程组则方程组所对应的向量组为因为3=31-2，则方程组的第三个方程是多余的，去掉它也不影响方程组的解.3.两个向量组等价的定义定义11如果向量组1,2,…,t中每一个向量i(i=1,2,…,t)都可以经向量组1,2,…,s线性表出，那么向量组1,2,…,t就称为可以经向量组1,2,…,s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出
3、，它们就称为等价.例如，设则向量组1,2与向量组1,2等价.2)对称性：如果向量组1,2,…,t与1,2,…,s等价，那么向量组1,2,…,s也与1,2,…,t等价.3)传递性：如果向量组1,2,…,t与1,2,…,s等价，1,2,…,s与1,2,…,p等价那么向量组1,2,…,t与1,2,…,p等价.4.等价向量组的性质1)反身性：每一个向量组都与它自身等价.二、向量组的线性相关性1.定义定义12如果向量组1,2,…,s(s2)中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组1,2,…,s称为线性相关的.例如，
4、向量组是线性相关的，因为3=31-2.从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组的线性相关的定义还可以用另一种说法定义12向量组1,2,…,s(s1)称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,…,ks,使k11+k22+...+kss=0.定义13一向量组1,2,…,s(s1)不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,…,ks,使k11+k22+...+kss=0.就称为线性无关；或者说，一向量组1,2,…,s称为线性无关，如果由k11+k22+...+kss=0可以推出k1=k2=…=ks=0.2.向量组与其
5、部分组的线性相关性的关系如果一向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.3.两个特殊向量组线性相关的充要条件1)由一个向量构成的向量组A:线性相关相关的充要条件是:1,2的分量对应成比例.2)由两个向量构成的向量组A:1,2线性的充要条件是:=0.向量组:因为-31+2=所以线性相关.而这两个向量的对应分量的比都是1/3.YOX123456123456图3-64.向量组线性相关的几何意义1)由两个2维向量构成的向量组A:1,2M1(1,2)M2(2,4)M3(3,6)在直线y=2x取三点M1,
6、M2,M3,作三个向量:显然,这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是:1,2共线.2)由3个3维向量构成的向量组线性相关的向量组1,2,3线性相关,因为21-2-3=0.M1M2M3OX3Y3Z3R图3–7R(0,0,3),作三个向量:=3.在上取四点:M1(1,1,1),M2(2,0,1),M3(0,2,1),几何意义是这3个向量共面.如给定平面:x+y+z三、用定义判别线性相关性例1判别n维单位坐标向量组的线性相关性.例2判断向量组的线性相关性.由上述两个例子，可以得到用定义判别向量组i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2
7、,…,s的线性相关性的方法是：设有s个数x1,x2,…,xs,使x11+x22+...+xss=0.该向量方程所对应的线性方程组为若线性方程组有非零解，则向量组1,2,…,s线性相关；若它只有零解，则向量组1,2,…,s线性无关.四、线性相关性的判别定理判别定理1设向量组i=(ai1,ai2,…,ain),i=1,2,…,s线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n+1维的向量组i
