第17章含参变量的积分.ppt

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1、级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数──积分上限的函数。本章和下章介绍另一种利用Riemann积分与广义积分构造的函数──含参变量的正常积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。第十七章含参变量的积分10/4/20211§17含参变量的正常积分1.含参量正常积分的定义2.含参量正常积分的性质3.含参量正常积分的一般形式10/4/20212称为含参量的正常积分,或简称含参量积分.1.含参量正常积分的定义设是定义在矩形域上的连续函数,当取上某定

2、值时,函数则是定义在上以为自变量的一元函数.若此时在上可积,则其积分值是在上取值的函数,表为(先固定x)10/4/20213类似地称为含参变量的积分。是由含参变量的积分所确定的函数,下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。这种形式的函数在理论和应用上都有重要作用,许多很有用的特殊函数就是这种形式的函数.(先固定y)10/4/20214若函数在矩形域上连续,则函数在上连续2.含参量正常积分的性质证:10/4/2021510/4/20216若函数与其偏导数都在矩形域上连续,则在上可微,且即求导和积分可以交换顺

3、序.10/4/20217(证毕)10/4/20218下面讨论可积性.设在矩形上连续，那末由定理1，函数分别在及上连续。因此在上可积，在上可积。记为要研究这两个积分是否相等？10/4/20219若二元函数在矩形域上连续,则和在和可积,且即累次积分顺序可以交换.或与积分顺序无关.10/4/20211010/4/20211110/4/202112设是定义在区域上的的二元函数,其中,为定义在上的连续函数,若对于每一固定的值,作为的函数在上可积,则其积分值是在上取值的函数,表为称为含参量的正常积分,或简称含参量积分.3.

4、含参变量正常积分的一般形式10/4/202113xyoGY=c(x)Y=d(x)若二元函数在矩形域上连续,其中,为定义在上的连续函数,则函数在上连续.10/4/202114对于参变量的积分：它的分析性质也有类似的结果。在上连续。都在上连续，并且同理也有设在矩形上连续，则(教材p245)10/4/202115证明当时，上式右端的三个积分都趋于零，于是10/4/202116上,在上可微,且结合复合函数及可变上限积分的求导法则即可证明.若在上连续,为定义在10/4/202117在可导，并且同理也有设和都在矩形上连续，

5、则对于参变量的积分：它的分析性质也有类似的结果.(教材p247)10/4/202118证明现在分别考虑在点处的导数。由定理2得10/4/202119由积分中值定理这里在和之间。由于的连续性及可微同样可以证明定理证毕。10/4/202120例1设，求解:应用定理4,有10/4/202121例2求解设则在矩形连续。于是由定理210/4/202122再对积分，得由于，所以从而10/4/20212310/4/20212410/4/202125例5求解考虑含参量的积分函数及其关于的偏导数都在矩形上连续，据定理19.2，有

6、10/4/202126将上式两边关于从0到1积分，得因为所以10/4/202127解法2因为所以10/4/202128(1),含参量正常积分的概念;(2),含参量正常积分的性质:(i),连续性;(ii),可微性;(iii),可积性;作业:P249:2,3.10/4/202129