第一章状态空间表达式-第2讲.ppt

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1、控制系统的状态空间表达式2010年4月15日21.状态变量及状态空间表达式状态空间描述常用的基本概念：状态变量足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。状态矢量如果n个状态变量表示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态矢量。状态空间以状态变量为坐标轴所构成的n维空间。状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组。输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式。状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述。31.1控制系统的状态空间表达式状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数。一般的，状态变量的个数等于系

2、统储能元件的个数。例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用状态空间表达是来描述这一系统。图1-1R-L-C电路电路输出量为1）设状态变量则状态方程为输出方程为根据电路定律可列写如下方程：其向量-矩阵形式为：简记为：2）选择状态变量则有3）选择状态变量则其向量-矩阵形式为：6由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换关系。理论上讲，并不要求状态变量在物理上是一定可以测量的量，但在工程实践上，仍以选取那些容易测量的量

3、作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要讲状态变量作为反馈量。要点：1.状态空间描述是时域法。注重系统的内在特性（通过状态变量）。2.状态方程是向量微分方程，输出方程是向量代数方程，联合描述了系统的动态特性。3.系统的维数=状态变量的个数=一阶微分方程的个数=储能元件的个数。4.状态变量的不唯一，状态方程也不唯一。状态空间表达式的系统方块图可以用方块图表示系统信号传递的关系。对于上面表示的系统，其方块图可表示如下91.2状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图的必要性：采用模拟结构图来反映系统和状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。模拟结构图的

4、绘制步骤：1.积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置；2.每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；3.用箭头将这些元件连接起来。例1-2，系统的三阶微分方程为例1-3，系统的状态空间表达式为则该系统的模拟结构图绘制如下123状态空间表达式的建立（1）3.1从系统方块图出发建立状态空间表达式在系统模拟结构图的基础上，把每个积分器的输出选作状态变量,其输出便是相应的；直接写出系统的状态方程和输出方程例1-4系统方块图如下所示，求出系统的状态空间表达式。状态表达式可表示为：2）含输入导数项：方块图：一路一

5、路由状态变量图可写出方程式：1）不含输入导数项：2、二阶系统：方块图：2）含输入一阶导数项：与前一项比换成方块图：环节②①一阶惯性环节：③3.2从系统机理出发建立状态空间表达式一般常见的控制系统，可以根据物理规律，建立系统的状态方程。例1-5电路网络如下所示，输入量为电流源，并指定一电容C1和C2上的电压作为输出，求出系统的状态空间表达式。有四个储能元件，故选择四个状态变量即对该电路分别利用节点法和支路法列写电流和电压方程如下：消去非独立变量，得到204状态空间表达式的建立（2）系统状态空间表达式传递函数或运动方程式实现问题：考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一

6、个n阶线性常系数微分方程相应的传递函数为实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。实现问题存在的条件是，实现是非唯一的，但是只要原系统传递函数中分子和分母没有零级点对消现象，则n阶系统必有n个独立状态变量，必有n个一阶微分方程与之等效，系统矩阵A的元素取值虽然各有不同，但是既为同一系统的实现，其特征根必是相同的。4.1传递函数中没有零点时的实现如果系统没有零点，则系统的微分方程为：相应的系统的传递函数为：可以选取n个状态变量为，于是系统还可以表示为：此时，可以选取状态变量为：其向量-矩阵形式为24如果传递函数有零点，则系统的微分方程为：相应地系统的传递函数为：

7、4.2传递函数中有零点时的实现实现策略：包含输入函数导数项的实现问题，主要是选取合适的结构，使得状态方程中不包含输入函数的导数项。254.2传递函数中有零点时的实现实现策略：包含输入函数导数项的实现问题，主要是选取合适的结构，使得状态方程中不包含输入函数的导数项。写成向量-矩阵的形式为m=n时对上式若选取状态变量组为4.3多输入-多输出系统微分方程的实现以双输入-双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为同样的，该系统的实现是非唯一的。用模拟结构图的方法，按高价导数项求解，对每一个方程积分，则有