误差分析课件 线性回归及应用.ppt

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1、线性回归分析线性回归分析及应用线性回归分析两个变量之间的关系：1.函数关系－－－确定的关系2.相关关系－－－非确定的关系（1）一个可控制，另一个不可控制（2)两个变量都不可控制（随机）线性回归分析3.回归分析回归分析就是通过对一定数量的观测数据进行统计处理，以找出变量间相互依赖的统计规律。例1-1：施肥量x1520253035404550产量y330345365405445450455465例1-1：为获得施肥量与产量之间的输入输出关系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上，如下图示称为散点图。从散点图

2、上可看出产量y与施肥量x之间基本呈直线关系。202530354045503303454053654451.1一元线性回归一、一元线性回归方程的求法一元线性回归是处理随机变量和变量之间线性相关关系的一种方法。一元线性回归的数学模型为（1-1）式中，——待定常数和系数；——测量的随机误差。一元线性回归方程的求法（Ⅰ）当的值为时，相应有设测量误差服从同一正态分布，且相互独立，则用最小二乘法估计参数，设估计量分别为，那么可得一元线性回归方程（1-2）式中，为常数和回归系数。一元线性回归方程的求法（Ⅱ）某一观

3、测值与回归值之差用表示它表示某一点与回归直线的偏离程度。记（1-3）值的大小反映全部观测值与回归直线的偏离程度，应使最小。根据最小二乘原理，有（1-4）（1-5）一元线性回归方程的求法（Ⅲ）由以上两式，经推导整理可得式中，（1-11）（1-12）（1-13）一元线性回归方程的求法（Ⅳ）至此，可确定一元线性回归方程回归直线方程的点斜式它表明回归直线通过点，只须在数据域任取一点代入回归方程，得到一点，则可由这两点绘出回归直线。例1-2（Ⅰ）：例1-2：假如某大量程式位移传感器的实测数据如下表所示，求输出

4、电压与位移之间的关系。位移x/mm01234567输出电压y/V00.099890.199830.299940.400080.500250.600360.70039例1-2（Ⅰ）：解：具体步骤如下1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元线性回归方程令2.分别计算的值，填入表1-1中。3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。4.计算例1-2（Ⅱ）：5.计算6.列回归方程二、回归方程的方差分析和显著性检验1.回归方程的方差分析N个观测值之间的差异（称离差），由两个因素引起：一是由变量之间的线性

5、依赖关系引起；二是由其他因素引起。测量值之间的变化程度可用总离差平方和表示，记为（1-14）1.回归方程的方差分析把代入中间项，可推出则令有其中，称为回归平方和，反映回归直线对均值的偏离情况，即随变化产生的线性变化在总的离差平方和中所起的作用。称为剩余平方和，反映测量值对回归直线的偏离情况，即其他因素引起的的变化在总的离差平方和中所起的作用。2.回归方程的显著性检验为定量说明与的线性密切程度，通常用F检验法，即计算统计量（1-20）对一元线性回归，有（1-21）计算和检验步骤：（1）由式（1-21）

6、计算出F值。（2）根据给定的显著性水平，从F分布表中查取临界值。（3）比较计算得到的F值和查得的值。若则回归效果显著，否则效果不显著。显著性水平等级：通常可分为以下几级：如果可认为回归效果高度显著，称为在0.01水平上显著，即可信赖程度为99%以上；如果可认为回归效果是显著的，称为在0.05水平上显著，即可信赖程度在95%和99%之间；如果可认为回归效果不显著，此时y对x的线性关系不密切。3.残余方差与残余标准差残余方差定义为残余标准差定义为它表明在单次测量中，由线性因素以外的其他因素引起的y的变化

7、程度。越小，回归直线的精度越高。例1-3试对例1-2中求出的回归方程进行显著性检验。解：具体步骤如下（1）利用求，则有（2）计算例1-3（Ⅱ）：（3）根据查表在级表中查得（4）判别故回归效果高度显著。（5）求剩余标准差1.2多元线性回归一、多元线性回归方程的一般求法设因变量与M个自变量的关系是线性相关的，且已获得N组观测数据则有如下结构形式（1-29）式中是M+1个待估计参数，是M个可精确测量的变量，是N个互相独立且服从统一正态分布的随机变量，这便是多元线性回归的数学模型。一、多元线性回归方程的一般

8、求法设分别为参数的最小二乘估计，则可得回归方程（1-30）最小二乘条件为正规方程为（1-31）正规方程的矩阵形式求解：数学模型的矩阵形式对于方程组（1-31），系数矩阵是对称的，用A表示X称为数据的结构矩阵。右边的常数项用B表示则正规方程的矩阵形式为令，则方程组的解为问题归结为计算下列四个矩阵二、多元线性回归的显著性检验和精度同一元线性回归方程类似，有回归平方和U表示M个自变量与的线性关系引起的变化在总的离差平方和S中所占的比重。及相应计算如表1-2。F检验的数学统计