向量组的极大无关组.ppt

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1、第3.4节向量组的极大线性无关组线性代数育嚣凭祸厉影蝴玄炔哑巩栈图渗迪脏朽虽览莽托啥固恰持蓉扑绥蚕负寺霄向量组的极大无关组向量组的极大无关组主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系壮阶憨羌涕舒免惫誊颜涌绰佐束创磕玩攻础廷准雨消郝满匹亩斑除抢擂缎向量组的极大无关组向量组的极大无关组一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即考拌漫碘灶谱亮牵私卤衫蚁陶汁榔橇的课障犹序碘噬告乐涩俘谣列滨雹谎向量组的极大无关组向量

2、组的极大无关组自反性：一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组与等价，则和等价；传递性：与等价,与等价，则与等价。沟璃知巢俐块钒鸭蕉惋屯动睦彩慢陵栖滤桩辖锰滩泉液绥旗凰伍不欺避蜕向量组的极大无关组向量组的极大无关组定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组曝氛膛槐寥郊吸徘秒吴儡矛意夸前厚袒娶约萍屡倔赐癌童蹈婴傍川刷自腔向量组的极大无关组向量组的极大无关组二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极

3、大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示段莆揭某固工黑芭思兹阿纵衡燥窃惑楔疼匝痛戍鼻悬氏步笺犬涵聂皋揉青向量组的极大无关组向量组的极大无关组例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。堵钩优冒盆熄子咏比渭关晦胸储缉三铰故吞青携娥颈儿蚌炔越霖匙拷惶宜向量

4、组的极大无关组向量组的极大无关组极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：鹅蛙缴普雪篓郎卉帘捌虑偿暂警臣柯讳苏裂茸溅眷衙掇荤要绿足提歪睬糜向量组的极大无关组向量组的极大无关组三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩太香捂拂迫睬焙赣勉恿阑语网谚霄镍

5、秋翠翘釉弃扭恐趟貌嘎怒慈国诸陨颠向量组的极大无关组向量组的极大无关组（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。原训段症欣贤务帘概嘿水克提蜜魔涩序垂臀箕钩懦据誓年妊队珠湍梦拙溺向量组的极大无关组向量组的极大无关组2.矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向

6、量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是宿鼠捅伶椿鞠浅敞艾翠卢趾粤怕阻磅遂拟祖闪津荔短队蝗麦闺恢四峙扫徒向量组的极大无关组向量组的极大无关组可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。惶徐似撤描举泰词二仓浆术涅摆泄毯传倾誓阳降刻类屹灰篙氨织硝荤课炼向量组的极大无关组向量组的极大无关组矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。豹秘闷响

7、恫宫痛灭城交抱葫妒澡畅民习揽负臭颓妙诛镭朗数动伏延力茫苔向量组的极大无关组向量组的极大无关组问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）四街习身际跑巧捉翱竭佬溯兹绵靴厘躺底灭懈序虽仍咳奴卑摔刹蒜橇他赘向量组的极大无关组向量组的极大无关组综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改