向量的概念及向量的表示.ppt

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1、§1向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB以A为起点,B为终点的向量,记为AB,,a.向量AB的大小叫做向量的模.记为

2、

3、AB

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5、或(一)向量的概念3.自由向量自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.1、向量加法(1

6、)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以　　为邻边的平行四边形,对角线向量,称为　　的和,记作(2)三角形法则将　　之一平行移动,使　　的起点与　的终点重合,则由的起点到　的终点所引的向量为(二)向量的加减法2.向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如:3.向量减法.(1)负向量:与　模相同而方向相反的向量,称为　的负向量.记作(2)向量减法.规定:平行四边形法则.将　　之一平移,使起点重合,作以　　　为邻边的平行四边形,对角线向量,为三角形法则.将　　之一平移,使起点重合,由　的终点向　的终

7、点作一向量,即为1.定义实数与向量　的　　　为一个向量.其中:当>0时,当<0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(<0)(>0)(三)数与向量的乘法结论:设　表示与非零向量　同向的单位向量.则或定理1:两个非零向量平行存在唯一实数，使得(方向相同或相反)例1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用　　　表示向量MA,MB,MC和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=MDMA=MCDABCM1.点在轴上投

8、影设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A'叫做点A在轴u上的投影.A'Au(四)向量在轴上的投影2.向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B.定义B'BA'Au向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段AB为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称x为向量AB在轴u上的投影，记作即则向量AB的投影向量A'B'有：B'BA'Aue显然；

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12、当与u轴同向时，当与u轴反向时，

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16、3.两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到

17、之间的那个夹角为的夹角,记为　　　或(1)若　　同向，则(2)若　　反向，则(3)若　　不平行，则4.向量的投影性质.定理2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则PrjuAB=

18、

19、AB

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21、·cosBBAAuB1定理3:两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。推论:BBAAuCC即即定理4:实数与向量　的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量　在该轴上的投影。二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系的建立ozxyzxyx轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个

22、空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o(一)空间直角坐标系2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz(二)空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则x=0;在zx面上,则y=0;在xy面上,则z=0.(2)若点M在x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在z轴上,则x

23、=y=0特别:2.空间向量的坐标表示(1)起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(1)(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2OM1=(

24、x2i+y2j+z2k)(x1i+y1j+z1k)=(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k即a=(x2x1,y2y1,z2z1)为向量a的坐标表示式记ax=x2x1,ay=y2y1,az=z2z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2x1,