固体物理答案第二章.ppt

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1、第二章晶体中原子的结合2.1由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为。式中，v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值：(1).简单立方点阵；(2).面心立方点阵；(3).体心立方点阵；(4).金刚石结构；(5).氯化钠型结构。式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平均占据的体积。若以表示晶体包含的晶胞数，中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全等效于解：题给表示晶体(1)于是得(2)R为离子间的最短距离。题给

2、的各种晶格均为立方格子，如令其晶格常数为a，则有。可由式(2)直接求出各种格子的值。所得结果列表如下：晶格(a)晶包体积（）晶胞中包含粒子数（n）离子间最短距离结构常数（）简单立方1a1面心立方40.71体心立方20.77金刚石结构81.54氯化钠结构812.2证明有两种离子组成的、间距为的一维晶格的马德隆常数。证明：选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。第j个离子与参考离子的距离可表示为。对于参考离子O，它与其它离子的互作用势能为马德隆常数2.3设两原子间的互作用能可由表述。式中第一项为吸

3、引能，第二项为排斥能；均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。且即当时，证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离处的能量应为能量的极小值，因为解之有（1）因而其次，对应于处能量取极小值，应有于是把（1）式代入，即得所以这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。2.4有一离子晶体，其总互作用势能表示为试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积弹性模量将受何影响？解：按题给由平衡条件得到离子平衡间距作为离子带电状态的函

4、数从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数（1）（2）由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有体积弹性模量可按下式求出2.5有一晶体在平衡时的体积为，原子间总的互作用能为。若原子间互作用能由式表述，试证明晶体的体积弹性模量为。证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为设最近临原子间的距离为R，则有再令得到平衡时，则由已知条件，得由平衡条件得由（1）、（2）两式可解得利用体积弹性模量公式得由于，因此，于是2.6

5、已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为今若排斥项由来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与的关系。已知（1）由解：晶体平衡时，原子间最近邻距离一定为（不因求解时排斥势选择不同而不同）得又（2）得（3）将（1）、（3）两式代入（2）式可得即2.7立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能。解：已知公式和，，，，则2.8已知由N个惰性气体原子结合成的具有面心立方结构的晶体，其互作用能可表示为式中R为最近邻原子间的距离，为常数，试求（1）平衡时原子间的最短距离；（2）平

6、衡时晶体体积；（3）平衡时体积弹性模量；（4）抗张强度。解：（1）由得可知（2）对于面心立方，N个原子构成晶体体积可得由（1）中结果知所以可知可得（3）体积弹性模量（4）抗张强度公式为又面心立方结构可知又所以抗张强度2.9设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两个离子间的势能具有如下的形式:(最近邻间)(最近邻以外)其中,为参数;R是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式.晶体共包含2N个离子.´´解:以负离子为参考离子,同号取“-”,异号取“+”;令最近邻离子间距离为R,则,设

7、最近邻离子数目为Z´2.10由两种一价离子交替排列组成的一维晶体，若离子总数为2N，试证明(1)平衡时的互作用势能为(2)如果晶体被压缩，使，则外力对每个离子所作的功可表示为解：(1)计入排斥作用，晶体中任意两离子i、j之间的互作用式中，同号离子取“+”号。异号离子取“－”号。若取负离子i作为参考离子，并忽略表面效应，则总的互作用能为能括号内对正离子取“+”号，对负离子取“－”号。以R表示最近邻离子间距，并令，则上式可写为式中，为马德隆常数；。对于一维离子晶体，马德隆常数为所以式中的代定参量B可如下确定：

8、因为平衡时，故有从而得到(1)(2)如果晶体被压缩，，则互作用能从变为由(1)、(2)两式求得势能的变化（2）(3)因为，因而于是(3)式可化简为能量的变化应等于外力所作的功。因为晶体一共由2N个离子，由上式可知，外力对每个离子所作的功就是2.11金刚石是共价键晶体，试求其键间夹角的大小。解：金刚石中每个碳原子与其最近邻的碳原子构成一个正四面体，原子间靠共价键结合，四面体键之间的夹角等于立方体体对角线间的夹角。式中，是直角坐标