十四格与布尔代数.ppt

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1、本章内容13.1格的定义与性质13.3分配格与有补格13.4布尔代数本章总结作业复习1.偏序集定义3-12.1：设A是一个集合，如果A上的一个关系R满足自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系，记作≤。称作偏序集。2.最大元、最小元定义3-12.6：设是一个偏序集，且B是A的子集，若有某个元素bB，对于B中的每一个元素x，有x≤b，则称b为的最大元；同理，若有某个元素bB，对于B中的每一个元素x，有b≤x，则称b为的最小元。3.哈斯图定义3-12.2：在偏序集中，如果x、y∈A，x≤y，x≠y，且没有其他元素z，

2、使x≤z，z≤y，则称元素y盖住元素x。记COVA={

3、x、y∈A，y盖住x}。对于给定偏序集，它的盖住关系是唯一的，所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其作图规则为：(1)小圆圈代表元素。(2)如果x≤y且x≠y，将代表y的小圆圈画在代表x的小圆圈之上。(3)如果∈COVA，则在x与y之间用直线连结。4.上界、下界定义3-12.7：设是一偏序集，对于BA，如有a∈A，且对任意元素x∈B，都有x≤a，则称a为B的上界。同理，对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。5.上确界、下确界定义3-12.8：设是一偏序

4、集且BA，a是B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y，则称a是B的最小上界(上确界)，记作LUBB。同理，b是B的任一下界，若对B的所有下界z均有z≤b，则称b是B的最大下界(下确界)，记作GLBB。13.1格的定义与性质定义13.1设是偏序集，如果x,y∈S，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≤作成一个格(lattice)。说明：由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧。x∨y：表示x与y的最小上界x∧y：表示x和y的最大下界。本章出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。格的

5、实例例13.1设n是正整数，Sn是n的正因子的集合。D为整除关系，则偏序集构成格。x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数。x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数。下图给出了格，和。例13.2例13.2判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。(1)，其中P(B)是集合B的幂集。(2)，其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出。例13.2解答(1)是格。x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y。由于∪和∩运算在P(B)上是封闭的，所以

6、x∪y，x∩y∈P(B)。称,为B的幂集格。(2)是格。x,y∈Z,x∨y＝max(x,y)，x∧y＝min(x,y)，它们都是整数。(3)都不是格。(a)中的{a,b}没有最大下界。(b)中的{b,d}有两个上界c和e,但没有最小上界。(c)中的{b,c}有三个上界d,e,f,但没有最小上界。(d)中的{a,g}没有最大下界。例13.3例13.3设G是群，L(G)是G的所有子群的集合。即L(G)＝{H

7、H≤G}对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2也是G的子群，而是由H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小的子群）。在L(G)上定义包含

8、关系，则L(G)关于包含关系构成一个格，称为G的子群格。易见在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2，H1∨H2就是。对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和∧的命题。令f*是将f中的≤替换成≥，≥替换成≤，∨替换成∧，∧替换成∨所得到的命题。称f*为f的对偶命题。例如在格中令f是(a∨b)∧c≤c，则f*是(a∧b)∨c≥c。格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号＝、≤、≥、∨和∧的命题。若f对一切格为真，则f的对偶命题f*也对一切格为真。例如对一切格L都有a,b∈L，a∧b≤a(因为a和b的交是a的一个下界)那么对一切格L都有a,b∈

9、L，a∨b≥a说明许多格的性质都是互为对偶命题的。有了格的对偶原理，在证明格的性质时，只须证明其中的一个命题即可。格的运算性质定理13.1设是格，则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即(1)交换律a,b∈L有a∨b＝b∨aa∧b＝b∧a(2)结合律a,b,c∈L有(a∨b)∨c＝a∨(b∨c)(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)(3)幂等律a∈L有a∨a＝aa∧a＝a(4)吸收律a,b∈L有a∨(a∧b)＝aa∧(a∨b)＝a定理13.1(1)a∨b和b∨a分别是{