2(初等模型).ppt

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1、第二章初等方法建模需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不在与采用了多么高深的数学方法.进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者.初等模型是指可以用初等数学的方法来构造和求解的模型．很多实际问题使用初等数学里面的不等式关系、比例关系、多项式方程等工具就可以达到研究的目的了.2.1类比法建模类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的

2、性质的一种方法．问题：四足动物的躯干与其体重之间有什么关系？此问题有一定的实际意义．例如在生猪收购站，工作人员能否从生猪的身长估计出它的体重？例1动物的身长和体重解题思路对此问题如果陷入生物学复杂的生理结构的研究，将会得出太复杂的模型，而失去实用价值．在这里我们用类比方法借助于弹性力学的结果，建立一个粗略的模型．建立模型把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为l，直径为d，底面积为s．如图．现将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的研究结果．设动物在自身体重f作用下，躯干的最大下垂度为b,也即

3、是梁的最大弯曲度。由弹性力学的研究结果：即体重与体积成正比，故而因b/l是动物躯干的相对下垂度，b/l太大，四肢将无法支撑；太小，无疑是一种浪费．生物学上认为，经过长期的进化，对于每一种动物而言，已经达到一个最合适的数值，即可设其为常数．从而l3/d2也为常数．于是结论动物的体重与躯干长度的4次方成正比．当然，比例系数与动物的种类有关．评注(1)类比法是建模中常用的一种方法．在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验.但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度与体重的关

4、系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的．(2)使用该模型时，要注意其条件．在建立此模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体的，也就是说，对于躯干太不近似圆柱体的四足动物，该模型就不适用了，比如乌龟．2.2函数与比例关系建模在一些实际问题中有一些量具有明显的比例关系，利用这些比例关系可以建立各个变量之间的函数关系，从而可建立数学模型。问题：在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.0

5、0元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试构造数学模型解释这种现象。例2商品包装问题模型假设1.商品的生产和包装的工作效率固定不变；2.商品包装成本只与装包、封包的劳力投入、包装材料成本有关；3.商品包装的形状、大小相似，不同大小的包装材料一致.简化实际问题，明确模型分析的实际对象问题分析建立单位重量价格c与货物重量w的函数关系模型构造设a=生产一件（包、罐）产品的成本；b=包装一件产品的成本；b1=劳力成本，b2=材料成本；w=每件产品包装的货物量.根据假设1，我们有a=k1w；装包的劳力投入也与w成正比；封包

6、的劳力投入对不同的包装规格大抵相同：b1=k2w+k3模型构造设a=生产一件（包、罐）产品的成本；b=包装一件产品的成本；b1=劳力成本，b2=材料成本；w=每件产品包装的货物量。由假设3，b2与货物的表面积S有关.设A是与货物包装形状有关的一个长度，则SA2，VA3S=k4V2/3因此，b2=k5w2/3b=b1+b2=k２w+k5w2/3+k3a=k1wn、p、q均为正数.单位成本模型应用分析是不是包装越大越好？下面考虑单位货物量成本随货物增加的下降速率：这是一个减函数，说明单位货物量的成本随货物量增加

7、而降低的速率越来越慢．购买小包装的商品不合算，购买特大包装的商品也不合算！从模型能看出，包装增大则单位货物量的成本变小.在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，并且两层玻璃之间还留有一定的空隙，其作用是减少热量的流失。现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多大的功效．比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同．例3双层玻璃窗的功效2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不

8、变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之