高等代数知识点总结.ppt

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1、总结高等代数多项式线性代数矩阵向量方程组计算多项式一元多项式多元多项式2基本概念：次数：最基本的概念和工具整除：多项式之间最基本的关系带余除法：最基本的算法，判断整除.最大公因式：描述多项式之间关系的复杂程度互素：多项式之间关系最简单的情形既约多项式：最基本的多项式根：最重要的概念和工具一元多项式3重要结论：带余除法定理对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)

2、于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)互素f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.4因式分解唯一定理次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.标准分解定理每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非零常数,p1,…,pt,是互不相同的首一既约多项式,n1,…,nt是正整数.进一步,a,p1,…,pt,n1,…,nt由f唯一确定.重因式f无重因式当且仅当f与其导式互素.5代数学基本定理：

3、下列陈述等价，复数域上次数≥1的多项式总有根复数域上的n次多项式恰有n个根复数域上的既约多项式恰为一次式复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积.实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二次式实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次式之积6实数域上的标准分解定理在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全不互不相同的根,p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.复数域上的标准分解定理在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项,x1,…,xt是f全部互不相同

4、的根,n1,…,nt分别是这些根的重数.7多项式作为函数：两个多项式相等(即对应系数相同)它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的最大者.设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，则f(x)恒等于0.8Eisenstein判别法：设是整系数多项式，若有素数p使得则f(x)是有理数域上的既约多项式.有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常数项9重要结论命题1.8.1若多项式的值全为0，则该多项式必为0.命题1.8.2每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多

5、项式之和，fn≠0，且其中fi是0或i次齐次多项式，0≤i≤n，fi称为f的i次齐次分量.基本概念：次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式多元多项式对称多项式基本定理每个对称多项式，都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式.10矩阵运算行列式初等变换和标准形特殊矩阵11运算及其关系转置取逆伴随行列式秩数加法(A+B)T=AT+BTr(A+B)≤r(A)+r(B)数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*

6、kA

7、=kn

8、A

9、r(kA)=r(A)(k≠0)乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B

10、*A*

11、AB

12、=

13、A

14、

15、B

16、r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A),r(B)转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T

17、AT

18、=

19、A

20、r(AT)=r(A)取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1

21、A1

22、=

23、A

24、1伴随(A*)*=

25、A

26、n2A*

27、A*

28、=

29、A

30、n1n,若r(A)=nr(A*)=1,若r(A)=n-10,若r(A)

31、A

32、-1A*AA*=A*A=

33、A

34、E当A可逆时，A*＝

35、A

36、A1定义性质若P,Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)12转置取逆伴随加

37、法(A+B)T=AT+BT数乘(kA)T=kAT(kA)1=k1A1(kA)*=kn1A*乘法(AB)T=BTAT(AB)1=B1A1(AB)*=B*A*转置(AT)T=A(AT)1=(A1)T(AT)*=(A*)T取逆(A1)1=A(A1)*＝(A*)1伴随(A*)*=

38、A

39、n2A*其它A-1=

40、A

41、-1A*AA*=A*A=

42、A

43、I当A可逆时，A*＝

44、A

45、A113行列式秩数加法r(A+B)≤r(A)+r(B)数乘

46、kA

47、=kn

48、A

49、r(kA)=r(A)(k≠0)乘法

50、AB

51、=

52、A

53、

54、B

55、r(A)+r(B)-n≤r

56、(AB)≤r(A),r(B)转置

57、AT

58、=

59、A

60、r(AT)=r(A)取逆

61、A1

62、=

63、A

64、1伴随

65、A*

66、=

67、A

68、n1n,若r(A)=nr(A*)=