不等式和绝对值不等式.ppt

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1、第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式1、不等式的基本性质:①、对称性:传递性:_________②、,a+c>b+c③、a>b,,那么ac>bc;a>b,,那么ac<bc④、a>b>0,那么,ac>bd⑤、a>b>0,那么an>bn.(条件)⑥、a>b>0那么(条件)练习:1、判断下列各命题的真假,并说明理由:(1)如果a>b,那么ac>bc;(2)如果a>b,那么ac2>bc2;(3)如果a>b,那么an>bn(n∈N+);(4)如果a>b,cb-d。2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)

2、(x+6)的大小。(假命题)(假命题)(真命题)(假命题)解:因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=20>0,所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)例2、已知a>b>0,c>d>0,求证:例1、求证:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd。证明:因为a>b>0,c>d>0,由不等式的基本性质(3)可得ac>bc,bc>bd,再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。练习:如果a>b,c>d,是否一定能得出ac>bd?并说明理由。例3、若a、b、x、y∈R

3、,则是成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C例5、已知f(x)=ax2+c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c,判断下列命题的真假:(1)若c>a>b>0,则(2)若a>b,,则a>0,b<0。(真命题)(真命题)f(3)的取值范围是[-1,20]例6、已知a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,试比较a、b、c的大小。解:因为bc>a2>0,所以b、c同号;又a2+c2=2ab>0,且a>0,所以b=且c

4、>0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,所以b-c≥0.当b-c>0,即b>c时,b=得所以a2c+c3>2a3即a3-c3+a3-a2c<0,(a-c)(2a2+ac+c2)<0因为a>0,b>0,c>0,所以2a2+ac+c2>0,故a-c<0,即aa2,所以b2>a2,即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0,所以a=b,与前面矛盾,故b≠c.所以a

5、课本P10第3题。求证:(1)如果a>b,ab>0,那么(2)如果a>b>0,c

6、EF=b.则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab,其值等于图中有阴影部分的面积,它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,两个矩形成为正方形,此时有a2+b2=2ab。定理2(基本不等式)如果a,b>0,那么当且仅当a=b时,等号成立。证明:因为=a+b-2≥0,所以a+b≥,上式当且仅当,即a=b时,等号成立。称为a,b的算术平均称为a,b的几何平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中,CO、

7、CD分别是斜边上的中线和高,设AD=a,DB=b,则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短。结论:已知x,y都是正数。(1)如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值ABENMFDCQPHG例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图(右图)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域,计划

8、在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图中四个直角三角形)上铺上草坪,造价为每平方米80元。(1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式。(2)当x为何值时S最小,并求出这个最小值。课堂练习:课本P10第5题、第6题、第9题5、设a,b∈R+,且a≠b,求证:(1)

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