成都理工大学 高数下 重修 PPT D11-7.8.9梯度、散度、旋度.ppt

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1、第七、八、九节一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子或Nabla算子.(为方向l上的单位向量)2.梯度的几何意义称为函数f的等值

2、线或等高线.则L*上点P处的法向量为举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,的等值面(等量面).当其各偏导数不同其上点P处的法向量为称为时为零时,等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图例.设函数解:(1)点P处切平面的法向量为在点P(1,1,1)处的切平面方程.故所求切平面方程为即(2)求函数f在点P(1,1,1)沿增加最快方向的方向导数.求等值面(2)函数f在点P处增加最快的方向为沿此方向的方向

3、导数为注意:对三元函数,与垂直的方向有无穷多梯度的基本运算公式例题.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性三、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若为方向向外的闭曲面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可

4、表为方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作显然表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

5、处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且散度意义例.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:四、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点M的线速度为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:向量场A产生的旋度场穿过的

6、通量注意与的方向形成右手系!向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.场论中的三个度设梯度:散度:旋度:则