正余弦定理及其应用.doc

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1、正余弦定理及其应用1．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）

2、△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；在△ABC中，4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－bb；（3）边与角关系：正弦定理（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccos

3、A；它们的变形形式有：a=2RsinA，，。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。例1．（1）在AB

4、C中，已知，，，求b及A；解析：（1）∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴例2．在中，，，，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由计算它的对偶关系式的值。①,②　①　+　②　得　　。　①　－　②　得　　。从而　例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边是a，b，c，且a2+c2－b2=（1）求sin2+cos2B的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值.17．解：（1）∴a2+c2－b2=∴cosB=………………（2分）∴s

5、in2[1－cos（A+C）]+[2cos2B－1]=[1+cosB]+[2cos2B－1]…=[1+]+[2×]=－…（2）由cosB=得：sinB=∵b=2∴a2+c2=ac+4≥2ac（当且仅当a2=c2=时取“=”号）∴ac≤……………………10分∴S△ABC=ac·sinB≤××=故：△ABC面积的最大值为……………………12分例4．△ABC中，则△ABC的周长为（D）A．B．C．D．解析：在中，由正弦定理得：化简得AC=，化简得AB=，所以三角形的周长为：3+AC+AB=3++=3+。故选D。例5.在△ABC中，已知A、

6、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，得。所以。例6在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积等于，所以，得．4分联立方程组解得，．6分（Ⅱ）由题意得，即，8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．12分练习

7、：1.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。2．在△ABC中，如果lga－lgc=lgsinB=－lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（D）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．（06四

8、川文，18）已知A、B、C是三内角，向量，且，（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若解析：（Ⅰ）∵∴，即，，；∵，∴，∴。（Ⅱ）由题知，整理得，∴∴；∴或，而使，舍去；∴。∴点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的