传染病传播及预防的数学模型.doc

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1、传染病传播及预防的数学模型摘要：随着社会和经济的发展，医学水平能力渐渐得到提高，现今社会的医学水平已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。人们也认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。通过建立传染病的传播模型，可以了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。传染病病毒是随时间演变的过程。本文以微分方程的SIR模型为基础，分析传染病的扩散传播规律，建立动态模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾

2、病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济发展。通过人数的规划，建立了传染病的微分方程模型，并用matlab软件拟合出患者人数随着时间的变化的关系曲线，利用控制变量的方法，控制某些变量不变，改变其中某个变量，通过比较找出导致传染病的传染的主要因素，以便做出相应的措施。本模型的关键在于把确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人划分成可传染者和不可传染者两类人，辅加一些特殊的参数，如：传染率，治愈率等等，构成微分方程组，找出单位时间内正常人人数的变化，确诊患者人数的变化，疑似患者

3、人数的变化，死亡者或治愈者（即退出系统者）的人数的变化，从而建立了微分方程模型。在模型建立的基础上，通过matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，分析图形，得出结果，从而找到解决问题的响应措施。关键词：动力学模型微分方程模型控制变量matlab软件一、问题重述精品文档交流已知某种不完全确知的具有传染性病毒的潜伏期为到，病患者的治愈时间为天。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散，该人群的人均每天接触人数为r。为了控制病毒的扩散与传播将该人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，可控制参数是隔离

4、措施强度p（潜伏期内的患者被隔离的百分数）。通过合理的假设建立传染病传播的数学模型。二、问题分析据题目意思，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，在此我们选用微分方程。因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用SIR模型。模型中我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。再利用matlab画出图形，加以分析，达到得出应对措施的目的。把考察范围内的人群分为以下种类：1、健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。记其数量为

5、S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；2、潜伏期人群，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I(t)表示t时刻可能感染该疾病的但又不是疑似病患的人数；3、疑似病患，记其数量为E(t)表示示t时刻感染该疾病的并是疑似病患的人数；4、确诊病患,记其数量为Q(t)表示示t感染该疾病并确诊为患者的人数；5、恢复人群（Recovered）,记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的人数（这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统）。基于以上的

6、假设，健康人群从潜伏期到移出传染系统的过程图如下：疑似患者确诊患者正常人(易感染人群)恢复人群死亡医院医务人员感染感染该疾病治愈社会交往三、模型假设1.假设易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数的乘积成正比;2.假设从感染数中移除个体的速率与当时的感染人数成正比;3.假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变,记为N。精品文档交流1.假设潜伏期人群不会传染健康人，不具有传染性。2.假设被隔离的患者无法跟别人接触，不会传染健康人。3.假设治愈者已对该病毒有免疫力，不会

7、再被该传染病传染，可以退出系统4.假设初始时刻健康人群的总人数为=1.1千万,潜伏期的总人数为=1，疑似病患的总人数为=0，确诊病患的总人数为=0，恢复人群的总人数为=0。四、符号说明病毒潜伏期（天）病患者治愈时间（天）病患人均每天接触人数r隔离措施强度p时刻t内健康人群S(t)时刻t内潜伏期人群I(t)时刻t内病症疑似人群E(t)时刻t内已患病人群Q(t)时刻t内治愈或死亡人群R(t)传染病传染率五、建立模型由模型的假设得到如下关系：S(t)+I(t)+E(t)+Q(t)+R(t)=N1）根据假设在时刻内健康人群变化有：2

8、）在时刻内治愈或死亡人群的变化有：（为单位时间内患者的恢复率）3）在时刻内病症疑似人群的变化有：4）在时刻内已患病人群的变化有（已患病人群等于潜伏期病人转为感染者减去移除人数）：5）在时刻内潜伏群期人群的变化有：精品文档交流（为单位时间内潜伏期病人转为感染者的比例常数）根据以上变化有六、模