平面向量的基本定理.doc

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1、平面向量的基本定理学习目标1.了解平面向量基本定理及其意义.2.会用平面内两不共线的向量表示平面内任一向量.基础梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2.如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图所示，在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝，

2、＝，试用，表示分析　不易直接用表示，所以可以先由联合表示,,再进行向量的线性运算，从方程中解出解设则==(1)=(2)将（2）代人（1)得(3)将（3）代人（2）得，变式训练在中，AD与BC交于点M,设以为基底表示解设则A,M,D三点共线即（1）而C,M,B三点共线即(2）由（1）和（2）得规律总结　根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未

3、知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．平面向量的坐标表示及其运算学习目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，

4、相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．2．平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(3)非零向量a的单位向量为±.例题平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)

7、设d＝(x，y)满足(a＋b)∥(d－c)且

8、d－c

9、＝1，求d.分析　由两向量平行的坐标形式的等价条件列方程组，解方程组得未知数或向量．解　　(1)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.(2)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，(a＋b)∥(d－c)且

10、d－c

11、＝1，解得或d=或d=变式训练已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们

12、是同向还是反向？解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)ka＋b与a－3b平行等价于(k-3)(-4)-(2k+2)10=0解得此时ka+b=a+b=()(a-3b)ka+b与a-3b反向规律总结　向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式．其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性.