锐角三角函数.docx

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1、锐角三角函数（一）知识点1正弦和余弦的定义如图所示，在锐角A的终边上分别取点B1，B2，B3，…，过B1，B2，B3，…分别作B1C1，B2C2，B3C3，…垂直于锐角A的始边，垂足分别为C1，C2，C3，…。∵B1C1⊥AC1，B2C2⊥AC2，B3C3⊥AC3，…，∴B1C1//B2C2//B3C3//…，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，∴B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3=…=定值，①AC1AB1=AC2AB2=AC3AB3=…=定值，②由①②可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定值。如图所示，在Rt

2、△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边斜边=ac在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=bc【知识拓展】理解正弦和余弦的定义要注意以下三点：（1）在直角三角形中，只要锐角确定了，它的对边与斜边的比值或邻边与斜边的比值就确定了，这个比值是一个定值，可以用它去研究直角三角形两边的关系。（2）一般地，当0°<∠A<90°时，sinA的值随∠A的增发而增大。（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，所以BCAB<1，ACAB<1，因

3、此可以推出0

4、0°，可知∠B=60°，所以sin60°=ACAB=3R2R=32，cos60°=BCAB=R2R=12。如图（2）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，设BC=R，由∠A+∠B=90°，可知∠B=45°，所示AC=BC。由勾股定理可知AB=AC2+BC2=2R，故sin45°=ACAB=R2R=22，cos45°=BCAB=R2R=22。列表如下：度数三角函数0°30°45°60°90°sinα01222321cosα13222120【知识拓展】记忆特殊角的三角函数（正弦、余弦）值有如下方法：（1）图形记忆法，根据特殊角所在的三角形来记。（2）列表记忆，如上表。（3）规律

5、记忆法，30°，45°，60°的正弦值的分子依次是1，2，3，分母都是2，而相应的余弦值的分母都是2，分子依次是3，2，1。例2求下列各式的值。（1）2sin45°+sin30°∙cos60°；（2）2+1cos90°-sin60°-1-3+12-cos0°+-13。【针对性训练2】4cos30°∙sin60°+（-2）-1-（2009-2008）0=___________。知识点3互余两角的正弦和余弦的关系观察等式：sin30°=cos60°=12，cos30°=sin60°=32，cos45°=sin45°=22。不难发现上述等式有如下特点：三角函数名称互换，三角函数值相等。上述规律

6、我们可以推广到任意锐角。任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sinA=cos（90°－A）。任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cosA=sin（90°－A）。【易错点津】对公式sinA=cos(90°－A)和cosA=sin（90°－A）的理解要注意；∠A为锐角；在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B（即90°－∠A）的对边与斜边的比。例3若cos55°≈0.5736，则sin35°+0.4264=__________。【针对性训练3】化简下列各式。（1）1—sin70°+cos20°；（2）2sin10°3cos80°知识点4同角的正弦和余弦的关

7、系同一个锐角的正余弦的平方和等于1∵sin30°=12，cos30°=32，∴sin230°+cos230°=（12）2+（32）2=1∵sin45°=22，cos45°=22，sin245°+cos245°=（22）2+（22）2=1∵sin60°=32，cos60°=12，sin260°+cos260°=（32）2+（12）2=1观察上面的等式，猜想对于任意的锐角α都有sin2α+cos2α=1在Rt△ABC中，已知∠C=90°