牛吃草问题详解.doc

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1、牛吃草问题详解“一堆草可供10头牛吃4天,那么这堆草可供8头牛吃几天?”这个问题很简单,因为草的总量没有变,所以可以得到10×4÷8=5(天)。但是,若问题中的“一堆草”改成“一片正在生长的草地”,问题就没有这么简单了,因为草的总量是在变化的。像这类工作总量不固定但匀速增长的问题称为牛吃草问题。举个例子:牧场上有一片均匀生长的牧草,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周?这类问题最早出现在英国伟大的科学家牛顿所著的《普通算术》一书中,所以被后人称为“牛顿问题”,或“牛吃草”问题。问题分析:解答这

2、类问题,困难在于草的总量在变,它每天、每周都在均匀地生长,时间越长,草的总量越多。草的总量可以分成两个部分:(1)原有的草量;(2)某段时间内新生长的草量。因此,必须设法找出这两个量来。可以知道23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多,多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量,就要进行转化。我们假设1头牛1周吃掉的草量为1个单位,则:27头牛6周吃掉的草量为27×6=162个单位;23头牛9周吃掉的草量为23×9=207个单位。这样一来,就可以知道每周生长的草量为:(207-162)÷(9-6)=15

3、个单位。进而,我们可以知道,原有草量为:27×6-15×6=72个单位(参考示意图)。最后,我们来解决题目中提出的问题,这片草可供21头牛吃几周?解决这个问题相当于把21头牛分成两部分:一部分看成专吃原有的草,另一部分专吃新生长的草。但是新生长的草只能维持15头牛每周的吃草量,而且可以保持平衡。故分出15头牛吃新生长的草,另一部分21-15=6(头)牛去吃原有的草。所以这片草够吃72÷6=12(周),也就是说这片草可供21头牛吃12周。“牛吃草”问题解题步骤通过上面的分析,我们可以把牛吃草问题的解题步骤归纳为一下几步:(

4、1)设定1头牛1天(或1周,看题目而定)吃草量为1个单位;(2)草的生长速度=(对应牛的头数×较多的天数-对应牛的头数×较少的天数)÷(较多的天数-较少的天数);(3)原有草量=对应牛的头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;(4)吃的天数=原有草量÷(牛的头数-草的生长速度)。练习1、牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,或可供15头牛吃10天,那么可供25头牛吃多少天?2、一块长满草的牧场,草每天都在匀速生长,这块牧场可供8头牛吃30天,或可供40只羊吃20天,如果1头牛每天吃草量是羊每天

5、吃的4倍,那么21头牛和12只羊一起吃,可以吃多少天?

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