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1、§1傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.返回一、三角级数·正交函数系三、收敛定理二、以为周期的函数的傅里叶级数一、三角级数·正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐振动y的周期是较为复杂的周期运动,则常常是几个
2、简谐振动由于简谐振动的周期为所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数的叠加：若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运动现象.对于级数(3),只须讨论(如果可用代换x)的情形.由于所以它是由三角函数列(也称为三角函数系)所产生的一般形式的三角级数.容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一个以为周期的函数.关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:则级数()可写成定理12.1若级数收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证对任何实数x,由于根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函数系(5)的特性.首先
3、容易看出三角级数系(5)中所其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数有函数具有共同的周期的乘积在上的积分等于零,即而(5)中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零,即若两个函数与在上可积,且则称与在上是正交的,或在上具有正交性.由此三角函数系(4)在上具有正交性.或者说(5)是正交函数系.现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数f与级数(4)的系数之间的关系.定理12.2若在[-π,π]上且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:二、以为周期的函数的傅里叶级数证由定理条件,函数f在上连续且可积.对(9)式逐项积分得由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.所以即
4、又以乘(9)式两边(k为正整数),得由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积,有由三角函数的正交性,右边除了以为系数的那一项积分外,其他各项积分都等于0,于是得出:即同理,(9)式两边乘以sinkx,并逐项积分,可得由此可知,若f是以为周期且在上可积的函数,则可按公式(10)计算出和,它们称为函数f(关于三角函数系(5))的傅里叶系数,以f的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数,记作这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数,由定理12.2知道:若(9)式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于和函数f,则此三角级数就是f
5、的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为函数f出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于f本身.这就是下一段所要叙述的内容.等号.然而,若从以为周期且在上可积的函数f在上按段光滑,则在每一点f的傅里叶级数(12)收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即其中为f的傅里叶系数.定理12.3(傅里叶级数收敛定理)若以为周期的三、收敛定理注傅里叶级数的收敛性质与幂级数相比,对函数的要求要低得多,所以应用更广.而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.概念解释1.若f的导函数在上连续,则称f在[a,b]上光滑.2.如果定义在
6、上函数f至多有有限个第一类间断点,其导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续,并且在这有限个点上导函数的左、右极限存在,则称f在上按段光滑.在[a,b]上按段光滑的函数f,有如下重要性质:(i)f在上可积.(ii)在上每一点都存在,如果在不连续点补充定义,或,则还有(iii)在补充定义在上那些至多有限个不存在导数的点上的值后(仍记为),在[a,b]上可积.从几何图形上讲,在区间[a,b]上按段光滑光滑函数,是由有限个多有有限个第一类间断点(图15-1).光滑弧段所组成,它至收敛定理指出,f的傅里叶级数在点x处收敛于在该点的左、右极限的算术平均值而当f在点x连续时,则有即此时f的傅里
7、叶级数收敛于.这样便有上按段光滑,则f的傅里叶级数在上收敛于f.推论若f是以为周期的连续函数,且在所以系数公式(10)中的积分区间可以改为长其中c为任何实数.注2在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常只给出函数在(或)上的解析式,但注1根据收敛定理的假设,f是以为周期的函数,度为的任何区间,而不影响,的值:应理解为它是定义在整个数轴上以为周期的函数,即在以外的部分按函数在上的对应关系做周期延拓.也就是说函数
