高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）讲义.docx

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1、1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．几个常见函数的导数2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)．4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±fn)′＝f1′±f2′±…±fn′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)．基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体

2、实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·lna，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝，也可记为(logax)′＝·logae，当a＝e时，lnx的导数也是(logax)′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　)(2)若

3、f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.(　　)(3)若f(x)＝－，则f′(x)＝.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________.答案　(1)－　(2)2xln2　(3)3x2－探究　　利用导数公式及运算法则求导例1　求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2；(5)f(x)＝.[解]　(1)y′＝()

4、′＝(x)′＝x＝.(2)y′＝(log5x)′＝.(3)因为f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，所以f′(x)＝3x2＋2x－1.(4)因为f(x)＝2－2sin2＝1＋cosx，所以f′(x)＝－sinx.(5)解法一：f′(x)＝＝.解法二：因为f(x)＝＝1＋，所以f′(x)＝＝.拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导．【跟踪训练1】　

5、求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.解　(1)y′＝′＝(x)′＝－x＝－x.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)．(3)y′＝′＝＝＝－.探究　　曲线切线方程的确定与应用例2　过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)，则过该切点的直线的斜率为ex0，所以所求切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1.所以切点为(1，e

6、)，斜率为e.[条件探究]　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′

7、x＝x0＝1.y′＝(ex)′＝ex，ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求

8、出切点坐标．【跟踪训练2】　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′

9、x＝x0＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.所以所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.探究　　导数的综合应用例3　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解]　(1)

10、∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4