高中数学第一章立体几何初步7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案北师大版.docx

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1、7.2　棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积[学习目标]　1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及公式之间的联系．　2.会运用柱体、锥体、台体的体积公式进行有关体积的计算.【主干自填】柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝ShS为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体＝ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体＝(S上＋S下＋)·hS上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高【即时小测】1．思考下列问题(1)仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：①底面半径

2、是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.②如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝πr2h.③如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．(2)柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？提示：其中S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为高，S为柱体或锥体的底面面积．2．正方体的表面积为96，则正方体的体积是(　　)A．48B．64C．16D．96提示：B　设正方体棱长为a则6a2＝96，a＝4，V正方体＝a3＝64.3．圆锥的

3、高扩大为原来的n倍，底面半径缩小为原来的，那么它的体积变为原来的______倍．(　　)A．1B．nC．n2D.提示：D　由锥体的体积公式V＝πr2h，可知锥体的体积与高成正比，与底面半径的平方成正比．4．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是(　　)A．6B．3C．11D．12提示：A　设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨令ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6.例1　如图(1)是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱

4、柱的主视图如图(2)．求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．[解]　由三视图可知：在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在底面即等边△ABC中，AB＝＝＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.类题通法求柱体体积的方法规律求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高考常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解．　(1)圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．(2)如图，在棱长为a

5、的正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A到平面A1BD的距离d＝________.答案　(1)2S　(2)a解析　(1)设圆柱的底面半径为r，则S＝πr2，∴r＝，则圆柱的母线长l＝2πr＝2，即圆柱的高h＝2，∴V圆柱＝S·h＝2S.(2)在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，∵V＝V，∴×a2·a＝××a×·a·d.∴d＝a.例2　一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．[解]　如图所示，正三棱锥S－ABC.设H为正三角形ABC

6、的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，∴SH＝＝＝.∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.类题通法求锥体体积常用的方法求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法．(1)割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱

7、体、锥体(或补成一个柱体或锥体)，求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方法来计算．　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求锥体的体积．解　∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC.在Rt△VMC中，MC＝＝＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．在Rt△ABC中，BC＝＝＝2(cm)．S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，∴V锥＝S底h＝×8×

8、4＝(cm3)．∴棱锥的体积为cm3.例3　圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[解]　首先，圆台的上底的半径为4cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．其次，如图，圆台的高h＝BC＝＝＝4(cm)，所以V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．类题通法台体体积常见解题方法台体的体积计算公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上，S下分别表