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《2020版高考数学大二轮复习课时作业13空间向量与立体几何理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业13 空间向量与立体几何1．[2019·安徽芜湖质检]如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.因为AC⊥BD且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，又B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)易知AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为
2、x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设AB＝t，则A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)，因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则即取x＝1，则y＝－，z＝，所以n＝(1，－，)是平面ACD1的一个法向量．设直线B1C1与平面A
3、CD1所成的角为θ，则sinθ＝
4、cos〈n，〉
5、＝＝＝，故直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.2．[2019·广东五校第一次诊断]如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.又AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE，∴B
6、D⊥平面ACFE.(2)连接OE，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，，0)，O(0,0,0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a>0)，则＝(0，，0)，＝(1,0,2)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即得y＝0.令z＝1，则x＝－2，∴n＝(－2,0,1)是平面EBD的一个法向量．由题意得sin45°＝
7、cos〈，n〉
8、＝＝＝，得a＝3或a＝－，由a＞0，得a＝3，＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，cos〈，〉＝＝
9、，所以异面直线OF与BE所成角的余弦值为.3．[2019·广东惠州一调]如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB＝60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A，C1，E的平面交棱BB1于点F，B1F＝2BF.(1)求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；(2)求二面角E－AC1－C的余弦值．解析：(1)证明：设四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，∵B1F＝2BF，△B1C1F∽△BEF，∴BE＝.由∠DAB＝60°＝∠ABE，得∠ABC＝120°，由余弦定理得AE＝，AC＝a.∵C
10、E＝BE＋BC＝，∴AE2＋CE2＝AC2，AE⊥CE.又ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，∴C1C⊥平面ABCD，又AE⊂平面ABCD，∴C1C⊥AE.∵CE∩CC1＝C，∴AE⊥平面BCC1B1.∵AE⊂平面AC1E，∴平面AC1E⊥平面BCC1B1.(2)解法一 过C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，连接GH.由平面AC1E⊥平面BCC1B1，平面AC1E∩平面BCC1B1＝C1E，得CH⊥平面AC1E.∴CH⊥AC1，又CG⊥AC1，CG∩CH＝C，∴AC1⊥平面CGH，AC1⊥GH，∴∠CGH是二面角E
11、－AC1－C的平面角．在Rt△ACC1中，AC＝a，CC1＝a，AC1＝2a，CG＝a，在Rt△ECC1中，CE＝a，CC1＝a，EC1＝a，CH＝a，∴GH＝＝a，cos∠CGH＝＝，∴二面角E－AC1－C的余弦值为.解法二 以E为坐标原点，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，平行于BB1的直线为z轴建立空间直角坐标系Exyz，则E(0,0,0)，A，C1，则＝，＝.设平面EAC1的法向量为n＝(p，q，r)，则即不妨取n＝(－2,0,3)．连接BD，B，D，易知平面AC1C的一个法向量为n1＝＝.设二面角E－AC1－
12、C的平面角为θ，则
13、cosθ
14、＝＝，又由题图知θ为锐角，∴二面角E－AC1－C的余弦值为.4．[2019·河南洛阳统一考试]如图1，平面多边形PABCD中，PA＝PD，AD＝2DC＝2BC＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，如图2，使PC＝2.(1)证明：CE∥平面ABP
