利用函数的单调性证明不等式.doc

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1、利用函数的单调性证明不等式单调函数是一个重要的函数类,函数的单调性应用广泛,可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等,并且可使许多问题的求解简单明快.下面主要讨论单调性在不等式中的应用.定义3.1[8]设函数的定义域为区间如果对于区间上任意两点及,当时,恒有,则称函数在区间上是单调增加的;如果对于区间上任意两点及，当时,恒有,则称函数在区间上是单调减少的.定理3.1[8]设函数在上连续,在内可导.如果在内,那么函数在上单调增加;如果在内,那么函数在上单调减少.利用函数的单调性解决不等式证明问题,在高等数学中是经常使用

2、的方法,下面通过几个例子来说明.例3.１[3]当时,证明:.证明构造函数,则因为时,,即.所以由定义知在内为严格单调减函数..而,,故.例3.2[2]当时,证明:.证明构造函数,则,当时,.所以定义知在内为严格单调减函数.故时,即.再构造函数,则.当时,所以由有限增量公式知在时为严格单调减函数,故当时,.即.综上所证,当时.