数值计算典型例题与习题2.ppt

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1、三、四章内容提要典型例题分析思考题与练习题《数值分析》典型例题II2/16一、解线性方程组直接法==顺序消元法、列主元法、追赶法矩阵的直接分解、对称矩阵的LU分解二、向量和矩阵的范数向量范数、算子范数、三种矩阵范数、矩阵的条件数三、解线性方程组迭代法Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*定理3.1约化主元ak+1,k+1(k)≠0(k=0,1,···,n-1)的充分必要条件是矩阵A的各阶顺序主子式不为零.3/16消元法使用的条件定理4.2:

2、设x*为方程组Ax=b的解若

3、

4、B

5、

6、<1,则对迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f有定理4.3若Ax=b的系数矩阵A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Seidel迭代均收敛Ex1.如果A是严格主对角占优矩阵,则det(A)≠0.证:用反证法。设det(A)=0,则齐次方程组Ax=0有非零解u=[u1,u2,···,un]T.设考虑Au=0的第k个等式两边约去

7、uk

8、，得这与主对角占优矛盾,故det(A)≠0。4/16Ex2.设A对称且a11≠0,高斯消元法一步后,A约化为证明A2也是对称矩阵。证

9、明:设所以,A2=A2T5/16Ex3.设n阶矩阵A的各阶顺序主子式不为零,记各阶顺序主子式对应的矩阵为Ak,(k=1,2,···,n)。设(k>1)L1=1,U1=a11求的LU分解.Ex4.设n阶矩阵A是严格主对角占优矩阵。高斯消元法一步后,A约化为证明A2也是严格主对角占优矩阵。Ex5.设A=(aij)n×n为可逆下三角矩阵，证明A-1仍为下三角矩阵。证明:设当i>j时,aij的代数余子式Aij=0,故A的伴随矩阵的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵Jacobi迭代法的迭代矩阵8/16Ga

10、uss-Seidel迭代法的矩阵:BG-S=(D–L)-1UAx=b,将矩阵分裂:A=D–U–LBJ=D-1(U+L)特征多项式与特征方程:

11、I–D-1(U+L)

12、=

13、D-1

14、·

15、D–(U+L)

16、

17、D–(U+L)

18、=0特征多项式与特征方程:

19、I–(D–L)-1U

20、=

21、(D–L)-1

22、·

23、(D–L)–U

24、

25、(D–L)–U

26、=09/16Ex6.若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D–L)-1U,该矩阵的特征方程为

27、(D–L)–U

28、

29、=0行列式对应的矩阵为当

30、

31、>1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占优矩阵的行列式不为零，故不是特征方程C()=

32、(D–L)–U

33、=0的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D–L)-1U的特征值必然满足：

34、

35、<1，从而高斯-赛德尔迭代矩阵谱半径小于1，迭代法收敛。10/1611/16Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足Xk+1=Xk(2I–AXk)，（k=0，1，2，……）证明:当时证明：由Xk+1=Xk(2I–AXk)，得I–AXk+1=

36、I–AXk(2I–AXk)=(I–AXk)2于是I–AXk=(I–AXk-1)2=(I–AXk-2)2×2=··········12/16Ex8设A∈Rn×n为对称正定矩阵,定义

37、

38、x

39、

40、A=证明

41、

42、x

43、

44、A是Rn上的一种向量范数。13/16Ex9.统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。Ex10.设A=(aij)n×n为可逆上三角矩阵，证明A-1仍为上三角矩阵。Ex11.求上三角矩阵的逆阵Ex12:求矩阵的2-范数,以及2-范数意义的条件数14/16Ex13.有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,且有迭

45、代公式讨论使迭代序列收敛的的取值范围.15/16Ex14证明n阶矩阵的特征值为(k=1,2,···,n)Ex15求n阶矩阵的特征值(1)A–1=B(I+R+R2+……)；(2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式Xk+1=XkR+B(k=0，1，2，……)产生的矩阵序列{Xk}收敛到矩阵A-1；(3)对矩阵序列{Xk}，有误差估计式16/16ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令R=I–AB如果

46、

47、R

48、

49、≤q<1，试证明