广西2020版高考数学复习高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形文.docx

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1、高考大题专项练二　高考中的三角函数与解三角形1.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB,所以sin∠ADB=25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25=25.所以BC=5.2.在

2、△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=23,求cosC的值.(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0

3、=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=2227.3.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠A

4、DB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解(1)在△ABC中,∵cosB=-17,∴B∈π2,π,∴sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,∴sinA=32.∵B∈π2,π,∴A∈0,π2,∴∠A=π3.(2)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×-17+12×437=3314.如图

5、所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sinC=hBC,∴h=BC·sinC=7×3314=332,∴AC边上的高为332.5.(2018天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinA=acosB-π6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-π6,得asinB=acosB-π6,即sinB=cosB-π6,可得tanB=3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC中,由余弦

6、定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6,可得sinA=37.因为a

7、+π4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)·(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-π6,∴周期T=2π2=π.由2x-π6=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+π3(k∈Z).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2+π3(k∈Z).(2)∵x∈-π12,π2,∴2x-π6∈-π3,5π6.∴当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)取最大值1;当2x-π6=-π3,即x=-π12时