1单自由度系统自由振动.ppt

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1、单自由度系统自由振动主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2011.9.30教学内容单自由度系统自由振动无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼无阻尼自由振动令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，λ为静变形。当系统受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：在静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程：单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置0x静平衡位置弹簧原长位置m固有振动或自由振动微分方程：令：单位：弧度/秒（rad/s）则有：通解：任意常数，由初始条件决定振幅：初相位：固有频率单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动系统固有的

2、数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动设的初始位移和初始速度为：令：有：单自由度系统自由振动推导过程用到公式：三角函数的加法公式时刻以后的自由振动解为：零时刻的初始条件：零初始条件下的自由振动：单自由度系统自由振动零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始

3、速度即转入了动能。单自由度系统自由振动零初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。单自由度系统自由振动初始条件：固有频率从左到右：时间位置固有频率计算的另一种方式：在静平衡位置：则有：对于不易得到m和k的系统，若能测出静变形，则用该式计算是较为方便的。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置例：提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力。单自由度系统自由振动Wv重物以v=15m/min的速度匀速下降时解：振动频率重物匀速下降时

4、处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0时，有：振动解：单自由度系统自由振动W静平衡位置kxWv振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度单自由度系统自由振动Wv例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动mh0l/2l/2解：由材料力学：自由振动频率为：单自由度系统自由振动取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系静变形mh0l/2l/2x静平衡位置撞击时刻为零时刻，则

5、t=0时，有：则自由振动振幅为：梁的最大扰度：单自由度系统自由振动mh0l/2l/2x静平衡位置例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置扭振固有频率单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置从前面两种形式的振动看到，单自

6、由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动a0C解：由牛顿定律：正负号不清因为微振动：则有：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率,则可求出，

7、再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：单自由度系统自由振动a0C单自由度系统自由振动例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程m300重力角速度取9.8单自由度系统自由振动解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m300教学内容无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼单自由度系统自由振动能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接

8、求出系统的固有频率。无阻