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1、应用数理学院应用数学学科部(AdvancedMathematics)高等数学1.最值的求法三、函数的最大值最小值问题及其应用(1)其中最大(小)者求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的区间端点的就是f(x)最值必在端(2)点处达到.点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值f(a),f(b)比较,在闭区间[a,b]上的最大(小)值.当f(x)在闭区间[a,b]上单调时,例解因驻点:导数不存在的点:仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为驻点:导数不存在的点:(3)(4)若连续函数f(x)在区间I内只有一个极值点为极大
2、(小)值,区间I上的最大(小)值.对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最大(小)值.实际问题求最值应注意(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大(小)值.例解目标函数得应用举例(1)(2)求最大值点半径为R.求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点就是最大值点,最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点(concaveandconvex)四、曲线凹凸性的判别法1.定义如何研究曲线的弯曲方向定
3、义1恒有凸(凹)图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方(下凸)(上凸)曲线弧上每一点的切线定义2(上)方,称为凸弧.(凹)凸弧的曲线段的切线斜率是单增的,是单增的,凹弧的切线斜率是单减的,是单减的.而利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,都在曲线的下定理2二阶导数,凸(凹)2.凹凸性的判别法(下凸)(上凸)例解注凹变凸的分界点.即例证设图形是凸的.利用函数图形的凹凸性证明不等式:1.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的第一充分条件2.拐点的求
4、法拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件具有二阶导数,则点(1)(2)是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)例解拐点拐点不存在定义域为(1)(2)(3)列表例解拐点的第二充分条件小结改变弯曲方向的点:凹凸性;拐点;研究曲线的弯曲方向:凹凸性的应用:利用凹凸性证明不等式.利用函数特性描绘函数图形.确定函数的定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性.判定和拐点,讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性渐近线.适当计算曲线上一些点的坐标,是否与坐标轴有交点.特别注意五、函数图形的描绘定义1.垂直渐近线渐近线垂直渐近线.或一条渐近线.如垂直渐近线:(垂直于x轴的渐
5、近线)2.水平渐近线如水平渐近线:水平渐近线.或(b为常数)(平行于x轴的渐近线)例解非奇非偶函数,作图举例不存在拐点极小值间断点无斜渐近线.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:作图拐点极小值补充点不存在拐点极小值间断点水平渐近线:垂直渐近线:小结利用一阶、二阶导数的符号确定函数的升降、最大值最小值凹的凸的单增单减极大值拐点极小值非极值不可导极大值地描绘图形的基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数的性态、较准确作业P1326,7(1)(3),13,15
