概率论与数理统计第2讲.ppt

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1、§4条件概率1(一)条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念,所考虑的是事件A已发生的条件下,事件B发生的概率.例1将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.设事件A为"至少有一次为H",事件B为"两次掷出同一面".现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.样本空间为S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.已知事件A已发生,知道"TT"不可能发生.2即知试验所有可能结果所成的集合就是A,A中共有3个元素,其中只有HHB.于是,在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B

2、A),为另外,易知故有(4.1)3对于一般古典概型问题,若仍以P

3、(B

4、A)记事件A已经发生的条件下B发生的概率,则关系式(5.1)仍然成立.事实上,设试验的基本事件总数为n,A所包含的基本事件数为m(m>0),AB所包含的基本事件数为k,即有4定义设A,B是两个事件,且P(A)>0,称为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.不难验证,条件概率P(

5、A)符合概率定义中的三个条件,即1,非负性:对任一事件B,有P(B

6、A)02,规范性:对于必然事件S,有P(S

7、A)=1;3,可列可加性:设B1,B2,...,是两两互斥事件,5既然条件概率符合上述三个条件,故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率.例如,对于任意事件B1,B2有P

8、(B1B2

9、A)=P(B1

10、A)+P(B2

11、A)-P(B1B2

12、A).例2一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为"第一次取到的是一等品",事件B为"第二次取到的是一等品".试求条件概率P(B

13、A).6解易知此属古典概型问题.将产品编号,1,2,3号为一等品;4号为二等品.以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号,第j号产品.试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),(4,2),(4,3)},共12个基本事件组

14、成,A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共9个基本事件组成,AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.共6个基本事件组成.7按(4.2)式,得条件概率也可以直接按条件概率的含义来求P(B

15、A).我们知道,当A发生以后,试验E所有可能结果的集合就是A,A中有9个元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于B,故可得8(二)乘法定理由条件概率的定义(4.2)可得乘法定理设P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B

16、A)

17、(4.3)上式容易推广到多个事件的积事件的情况.例如,设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(A)P(B

18、A)P(C

19、AB)(4.4)一般地,设A1,A2,...,An为n个事件,n2,且P(A1A2...An-1)>0,则有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2

20、A1)...P(An-1

21、A1A2...An-2)P(An

22、A1A2...An-1)(4.5)9例3设袋中装有r只红球,t只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率.解以Ai(

23、i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到红球",10例4某种透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下来未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透镜第i次落下打破",以B表示事件"透镜落下三次而未打破,则11(三)全概率公式和贝叶斯公式定义设S为试验E的样本空间,B1,B2,...,Bn为E的一组事件,若(1)BiBj=f,ij,i,j=1,2,...,n;(2)B1B2...Bn=S,则称B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分.若B

24、1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分,那么,对于每次试验,事件B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生.12划分的图示B1B2B3SB4B513定理设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,...,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则(4.6)式称为全概率公式.14证因为A=AS=A(B1B2...Bn)=AB1AB2...ABn,由假设P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)(ABj)=f,ij,i,j=1,2