LU和QR分解法解线性方程组.doc

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1、LU和QR法解线性方程组一、问题描述求解方程组==,要求：1、编写用三角（LU）分解法求解线性方程组；2、编写用正交三角（QR）分解法求解线性方程组。二、问题分析求解线性方程组Ax=b，其实质就是把它的系数矩阵A通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A的变换通常有两种分解方法：LU分解法和QR分解法。1、LU分解法：将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即：A=LU,其中L=，U=2、

2、QR分解法：将A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R,即：A=QR三、实验原理1、LU分解法解Ax=b的问题就等价于要求解两个三角形方程组：　⑴Ly=b,求y;   ⑵Ux=y,求x.设A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU,L为单位下三角阵,U为上三角阵。L,U的元素可以有n步直接计算定出。用直接三角分解法解Ax=b（要求A的所有顺序主子式都不为零）的计算公式：①,,i=2,3,…，n.计算U的第r行，L的第r列元素(i=2,3,…,n)： ②  ，i=r,r+1,…,n;③,i=r+1,…,n,且r≠

3、n.求解Ly=b，Ux=y的计算公式；④⑤1、QR分解法四、实验步骤1、LU分解法1>将矩阵A保存进计算机中，再定义2个空矩阵L，U以便保存求出的三角矩阵的值。利用公式①，②，③将矩阵A分解为LU，L为单位下三角阵,U为上三角阵。2>可知计算方法有三层循环。先通过公式①计算出U矩阵的第一行元素 和L矩阵的第一列元素。再根据公式②和③，和上次的出的值，求出矩阵其余的元素，每次都要三次循环，求下一个元素需要上一个结果。3>先由公式④，Ly=b求出y，因为L为下三角矩阵，所以由第一行开始求y.4>再由公式⑤，

4、Ux=y求出x,因为U为上三角矩阵，所以由最后一行开始求x.2、QR分解法四、程序流程图1、LU分解法2、QR分解法四、实验结果1、LU分解法2、QR分解法四、实验总结为了求解线性方程组，我们通常需要一定的解法。其中一种解法就是通过矩阵的三角分解来实现的，属于求解线性方程组的直接法。在不考虑舍入误差下，直接法可以用有限的运算得到精确解，因此主要适用于求解中小型稠密的线性方程组。1、三角分解法三角分解法是将A矩阵分解成一个上三角形矩阵U和一个下三角形矩阵L，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化

5、一个大矩阵的行列式值的计算过程，求反矩阵和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。2、QR分解法QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R,所以称为QR分解法。在编写这两个程序过程中，起初遇到不少麻烦！虽然课上老师反复重复着：“算法不难的，It'ssoeasy!”但是当自己实际操作时，感觉并不是那么容易。毕竟是要把实际的数学问题转化为计算机能够识别的编程算法，所以在编写程序之前我们仔细认真

6、的把所求解的问题逐一进行详细的分析，最终转化为程序段。每当遇到问题时，大家或许有些郁闷，但最终还是静下心来反复仔细的琢磨，一一排除了错误，最终完成了本次实验。　回头一想原来编个程序其实也没有想象的那么复杂，只要思路清晰，逐步分析，就可以慢慢搞定了。通过这次实验，让我们认知到团队的作用力度是不容忽视的，以后不管干任何时都要注重团队合作，遇到不懂得不明白的大家一起讨论，越讨论越清晰，愈接近最优答案。这样不管干什么都能事半功倍。庆幸自己有这么个团队，也明白大家一起劳动的果实最珍贵。附源代码:LR分解法：#in

7、cludevoidinput_A();//输入矩阵Avoidinput_b();//输入矩阵bvoidoutput_x(floatx[4]);//输出方程组的根voidmain(){inti,k,r;floatA[4][4]={{4,2,1,5},{8,7,2,10},{4,8,3,6},{12,6,11,20}},b[4]={-2,-7,-7,-3},x[4],u[4][4],l[4][4],y[4];//给定的方程组//input_A();//input_b();//显示矩阵A、b

8、printf("矩阵A[4][4]:");for(i=0;i<4;i++){for(k=0;k<4;k++)printf("%-10f",A[i][k]);printf("");}for(i=0;i<4;i++)u[0][i]=A[0][i];for(i=0;i<4;i++){l[i][0]=A[i][0]/u[0][0];l[i][i]=1;}for(r=1;r<4;r++)//计算矩阵L和U{for(i=r;i<4;i++){f