2、+q电荷所产生的电场作用下,8/22/2021同济高等数学课件例2.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气8/22/2021同济高等数学课件例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ)设
3、水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,8/22/2021同济高等数学课件面积为A的平板二、液体的侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••8/22/2021同济高等数学课件小窄条上各点的压强例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为8/22/2021同济高等数学课件说
4、明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数8/22/2021同济高等数学课件三、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.8/22/2021同济高等数学课件例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故铅直分力元素为在试计算8/22/2021同济高等数学课件利用对称性棒对质点引力的水平分力
5、故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为8/22/2021同济高等数学课件说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(a6、等数学课件例6.⑴求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;⑵求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:⑴建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴l的转动惯量为故圆盘对轴l的转动惯量为设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘,8/22/2021同济高等数学课件平行y轴的细条关于y轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y轴的转动惯量为⑵取旋转轴为y轴,建立坐标系如图.8/22/2021同济高等数学课件内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用
7、定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、8/22/2021同济高等数学课件(1999考研)思考与练习提示:作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥
8、的抓斗由抓起污x提升dx所作的功可分为三部分:米重50N,8/22/2021同济高等数学课件提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x处所需时间:克服抓斗自重:8/22/2021同济高等数学课件2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.8/22/2021同济高等
