曲面及其方程.ppt

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1、第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为根据题意有化简得所求方程解*【例3】方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．【解】以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成

2、的曲面称为旋转曲面.定义这条定直线叫旋转曲面的轴．播幻灯片39旋转过程中的特征：如图将代入将代入得方程解圆锥面方程三、柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线（不唯一），动直线L叫柱面的母线.LC柱面举例抛物柱面平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面//轴双曲柱面//轴抛物柱面//轴【结论】柱面的方程是x，y，z的二元方程，且与其准线方程相同.二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（

3、即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．四.二次曲面(1)椭圆锥面--------------o以平面z=t截此曲面当t=0时得一点(0,0,0)当时,得平面上的椭圆以平面z=t截此曲面当t=0时得一点(0,0,0)当时,得平面上的椭圆（2）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面和的交线也是椭圆.（3）单叶双曲面单叶双曲面用坐标面与曲面相截截得中心在原点的椭圆.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.用坐标面与曲面相截截得中心在原点的双曲线.

4、实轴与轴相合，虚轴与轴相合.双曲线的中心都在轴上.与平面的交线为双曲线.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.实轴与轴平行,虚轴与轴平行.截痕为一对相交于点的直线.截痕为一对相交于点的直线.用坐标面，与曲面相截均可得双曲线.单叶双曲面图形xyoz平面的截痕是两对相交直线.双叶双曲面xyo（4）双叶双曲面（5）椭圆抛物面（与同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面的交线为椭圆.当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.与平面不相交.用坐标面与曲面相截截得抛物线与平面的交线为抛物线.它的轴平行于轴顶点用坐标面，与曲面相截均

5、可得抛物线.同理当时可类似讨论.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）与平面的交线为圆.当变动时，这种圆的中心都在轴上.（与同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo（6）双曲抛物面抛物柱面椭圆柱面还有以下三种柱面:双曲柱面【补充】双曲面的渐进锥面单叶：双叶：yxzo渐进锥面：在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用z=h去截它们，当

6、h

7、无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。直纹面在建筑学上有意义含两个直母

8、线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.【补充】单叶双曲面是直纹面含两个直母线系【补充】双曲抛物面是直纹面n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次的：准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0zyt是任意数【补充】一般锥面五、小结曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线).思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？思考题解答平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直

9、线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋