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1、第六单元平面向量与复数知识体系第四节数系的扩充与复数的引入基础梳理1.复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别为它的和。①实数:若a+bi为实数,则。(2)分类②虚数:若a+bi为虚数,则。③纯虚数:若a+bi为纯虚数,则.(3)相等复数:a+bi=c+dia=c,b=d(a,b,c,d∈R).实部虚部b=0b≠0a=0,b=02.复数的加、减、乘、除运算法则设则(1)加法:=(a+bi)+(c+di)=;(a+c)+(b+d)i(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;(4)乘方:
2、zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2;(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(5)除法=.3.复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.叫做实轴,叫做虚轴.实轴上的点都表示;除原点外,虚轴上的点都表示.复数集C和复平面内组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的x轴y轴实数纯虚数有序实数对(a,b)原点4.共轭复数把相等,的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作.实部虚部互为相反数4.共轭复数把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数,
3、复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作,即=a-bi(a,b∈R).5.复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作
4、z
5、或
6、a+bi
7、,即6.复平面内两点间距离公式两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=
8、Z2Z1
9、.典例分析题型一复数的概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取
10、值.解z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)·(m-3)i.(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.学后反思利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.举一反三1.已知复数，试添加a,b的条件，使之满足下列要求。(1)使复数z为纯叙述的充要条件；(2)使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件。解析：（1）由已知得，所以∴z为纯虚数的充要条件是a=±b,且a>o.(2)由（1）得，条件
11、a=b>o和a=-b>0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件。题型二复数代数形式的运算【例2】计算：分析:熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和等运算结果，能使运算更加便捷。解原式=学后反思在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的特点，寻找更简便的方法。举一反三2.求7+24i的平方根.解析：设平方根为x+yi(x,y∈R),则故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.题型三复数集上的代数方程【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,c∈R）.(1)求b,c的值;(2)试证明1-i也是方程的根.分析把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解(1
12、)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,………………………2′∴所以b,c的值分别为b=-2,c=2……………………….6′(2)证明：因为方程x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0即方程成立,∴1-i也是方程的根.学后反思(1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac＜0时，在复数集上有两个共轭虚根,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.举一反三3.已知关于x的方程x2-(2+i)x-a
13、+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.解析设实根为x0,则x20-(2+i)x0-a+3i=0，整理得x20-2x0-a+(3-x0)i=0,解得，故a=3，方程的实根为3.易错警示【例】m取何实数值时，复数(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？错解(1)当时，即m=2或m=-5时，z是实数.(2)当时，即m≠-5且m≠2时，z是虚数.(3)当即时，z是纯虚数.错解分析本题出错的原因是漏掉了m2-25在分母
