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1、八年级上证明(二)回顾与思考2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).ACBD12（1）∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.（2）∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）（3）∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）轮换条件∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.知识要点：1.定理:等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角4
2、.等边三角形的判定：结论4:等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高3.等腰三角形有关知识要点:结论1:等腰三角形两底角的平分线相等结论2:等腰三角形两腰上的中线相等结论3:等腰三角形两腰上的高相等(3).有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形(1).三条边都相等的三角形是等边三角形(2).三个角都相等的三角形是等边三角形5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30。,那么这个锐角所对直角边等于斜边的一半它的逆命题:ABC∵∠ACB=90。,
3、∠A=30。∴在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30。.∵∠ACB=90。,∴∠A=30。6.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.它的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形7.直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)8.写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等9.线段的垂直平分线∵PC垂
4、直平分AB(PC⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)∴PA=PB它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上∵PC垂直平分AB(PC⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)∴PA=PB10.角平分线定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等12∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE∴∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)逆命题:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE11.定理:三角形三条边的垂直平分线
5、相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的外心,三角形外接圆的圆心)(这一点叫做三角形的内心,三角形内切圆的圆心)名题探究:例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB求证:DC⊥AC21ABCDEF证明:取AB的中点E,连结DE∵DA=DB,AE=BE∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)∵AB=2AC,E为AB的中点∴AE=AC在ΔAED和ΔACD中,AE=AC,∠1=∠2,AD=AD∴ΔAED≌ΔACD(SA
6、S)∴∠AED=∠ACD=90。即AC⊥DC或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DF名题探究:例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB求证:DC⊥AC21ABCDF证明:延长AC至F使CF=AC,连结DF∵AB=2AC,AC=CF∴AB=AF∵∠1=∠2,AD=AD∴ΔADB≌ΔADF(SAS)∴DB=BF∵DA=DB∴DA=DF∵AC=CF∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一)即DC⊥AC思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质
7、(三线合一).名题探究：例2:如图,ΔABC,ΔCDE是等边三角形(1)求证:AE=BDABCDE(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,求证:CM=CNMN(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明名题探究思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的对应关系练习1:在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC的平分线,已知,求AD的长.ABCD解:∵∠C=90
8、0,∠B=300,∴∠CAB=60。∵AD是角平分线∴∠CAD=30。设CD=x,那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2∴解得x=2∴AD=4思路探究：本题综合运用了勾股定理，含30。角的直角三角形性质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,要善于联想到这些性质.练习2如图：已知△ABC中，AD平分∠BAC，EF是AD
