2015年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答.pdf

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1、2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试（A）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）222222222abbcca1.设实数abc,,满足：abc3,abc4，则=（）2c2a2bA．0B．3C．6D．9【答】D．222222222abbcca4c4a4b【解析】(

2、2c)(2a)(2b)9．2c2a2b2c2a2b22．若抛物线yxbxc与x轴只有一个公共点，且过Amn(,)，Bm(8,)n，则n（）A．8.B．12.C．16.D．24.【答】C【解析】法一（LTX）：2依题意，设抛物线解析式为y()xh，因为它过Amn(,)，Bm(8,)n，22所以hm4，故n(mh)(4)16，选C.法二：由题意，bm82，2122抛物线与x轴只有一个公共点，故bc40，解得cb(4m)，4222故nmbmcm(82)mm(4m)16．3．矩形ABCD中

3、，AD5，AB10，E、F分别为矩形外的两点，BEDF4，AFCE3，则EF（）A．415.B．15.C．221.D．102.【答】C．【解析】易知AFDBEC90，BEC≌DFA，1则DAFBCE．延长FA、EB交于点G．DCE因为GAB90DAFADF，FGBA90CBEBCEDAF，AB所以BGA∽AFD，G且AGB90，AG8，BG6，于是GF11，GE10，22因此EFGEGF221．14．已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数yx(0)的图像上，位于第

4、二x4象限的点B在反比例函数yx(0)的图像上，且OAOB，则tanABO的值为（）x12A．.B．.C．1.D．2.22【答】A．【解析】过点A、B分别作ACx轴，BDx轴，垂足分别为C、D，由OAOB得AOB90，于是可得AOC∽OBD，OASAOCOCACxyAA1所以tanABO．OBSODBDxy2OBDBB225．已知实数x，y满足关系式xyxy1，则xy的最小值为（）A．322B．642C．1D．642【答】B.【解析】设xyt，则由题设条件可知xyxy11t，2∴x，y是关

5、于m的一元二次方程mtmt10的两个实数根，2于是有：tt4(1)0，解得t222或t222.22222又∵xy(xy)2xyt2(t1)(t1)3，22∴当t222（即xy12）时，xy取得最小值，2最小值为(2221)3642.226．设n是小于100的正整数且使5nn35是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（）A．285B．350C．540D．635【答】D．22【解析】因为155nn35，故55nn35，故53n，故5n222设nm5（m是正整数），则5n3n51

6、20m15m5(m1)22因为155nn35，所以31m，所以m不是3的倍数故n为5的倍数，但不是3的倍数，符合条件的正整数n的和是：5123…1915123…6=635二、填空题（本题满分28分，每小题7分）2321．设ab,是一元二次方程xx10的两根，则34ab的值为______.2a【答】11．222【解析】a、b是一元二次方程xx10的两根，故，aa1，bb1由韦达定理可知：ab1，ab1．3232所以3a4b3a4b2b3(aa1)4b2(b1)2a3(a1

7、)3a6b26(ab)511．2．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为.1【答】.12【解析】设三角形的三边长为a，b，c（abc），则3aabc24，2aa(bc)24，∴8a12，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，其中，只有一组