空间单元与等参单元(已排).ppt

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1、第10章　轴对称问题、空间问题有限单元法110.1　空间问题简介工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作用的回转体等。本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。空间问题的主要困难：（1）离散化不直观；————（网格自动生成）（2）未知量的数目剧增。————（对某些问题简化）———（轴对称问题）空间分析的优点：精确。210.2　轴对称问题（a）压力管道（b）受重力作用的烟囱几何形状，约束条件及作用的载荷都对称于一固定轴。结构所受载荷与约束都对称于它

2、的轴线，则其内部的应力、应变与位移也必然对称于该轴线。3zrxp取柱面坐标系orθz.径向为r，环向为θ，对称轴为z。位移、应变、应力都与θ无关，只与r、z有关。任一点位移只有r、z方向分量：而θ方向位移分量(1)建立轴对称问题圆柱坐标系4（2）基本方程位移分量：应力分量：应变分量虚功方程物理方程：圆柱坐标是正交坐标，物理方程参照直角坐标系。5zrxp（3）结构离散对于轴对称问题的离散,通常在子午面roz上进行,其形状常为三角形和四边形,实际上，子午面上的每个三角形(或四边形)单元表示的是一个绕z轴一周的三棱(或四

3、棱)环单元。因此,有限元轴对称问题的离散就是将连续体离散成由有限个圆环组成的离散体,单元与单元间通过环线(称为节线)相连接,作用于单元上的载荷,也作用于节线上。如图。实际分析时，考虑到轴对称问题位移与周向无关，故可只需取一个截面,按平面情况进行分析。6rzoi(rz)rmurjuriumwjwiwiim(rz)mmj(rz)jj其中：单元类型：三角形单元（4）单元位移函数利用节线位移，待定系数，可得7（5）应变矩阵（6）刚度矩阵其中为r的函数，故[B]的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r0时，f不存在，即奇

4、异，需近似处理。8（7）轴对称单元的特点1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；3）单元边界是一回转面；4）应变分量　中出现了，即应变不是常量；且应变矩阵在r　0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。9实例封头作为压力容器中的重要受力部件，用户对其质量、强度、安全性等有很高的要求。带裙座封头的结构如图，其优点是可以避免直接在封头壁上进行焊接，提高了封头的可靠性，但也增加了成形过程的难度。1)如何保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位

5、置。厚壁封头在热冲压成形过程中还会出现明显的局部减薄或增厚现象，严重的会导致封头撕裂、起皱、模具涨裂等问题。1010.3　空间问题基本方程:对于实际工程中不能简化的空间问题，弹性力学是无法求解的，有限元法是解决此问题的有力工具。1110.4　四面体单元(1)单元类型：四面体单元节点位移向量(2)位移函数线性位移函数节点1，2，3，4的坐标：(x1,y1,z1),……(x4,y4,z4).12利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式:这些系数为四面体体积V各行各元素的代数余子式:其中：13(3)应变矩阵显然[B]为常

6、量矩阵，故四面体单元为常应变单元。其中：14(4)刚度矩阵类似平面问题，利用虚功方程可得单元刚阵其中各子块阵为:15第11章　等参数有限元法1611.1　等参数单元矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称

7、由此获得的单元为等参单元。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有限元离散。17任意直边四边形:任意六面体:等参数单元实例18由于工程实际中问题的边界通常很复杂，使用前述的规则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原始边界(如曲边等)，而只能采用不规则的单元(如任意直四边形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体)。但是如果直接研究这些不规则单元的有限元计算格式(如单刚阵)，则非常困难。问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元的计算格式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的

8、变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系;2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵.19xyzt3(1,1)4(-1,1)2(1,-1)1(-1,-1)y=1=1=-1=12(x2,y2)1(x1,y1)3(x3,y3)4(x