浙江省2019高考数学课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题.docx

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1、课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D，∵B，F，D三点共线，∴∥，又＝(c－x0，－y0)，＝，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝.法

2、二：连接OD，AB(图略)，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴△OFD∽△AFB.∴＝＝，即＝，解得a＝3c，从而e＝.(2)证明：∵F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.∴椭圆E的方程为＋＝1.设直线l的方程为x＝ny＋1，由消去x得，(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P，同理Q，从而·＝·＝64＋＝64＋＝64＋＝0.∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.2．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P

3、(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求

4、PA

5、·

6、PQ

7、的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－

8、PA

9、＝＝(k＋1)，

10、PQ

11、＝(xQ－x)＝－，所以

12、PA

13、·

14、PQ

15、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋

16、1)2，令f′(k)＝0，得k＝或k＝－1(舍去)，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，

17、PA

18、·

19、PQ

20、取得最大值.3．(2018·浙江重点中学12月高三期末热身联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上有相异的两点A，B.A，O，B三点不共线，O为坐标原点，且直线AB，OA，OB的斜率满足k＝kOA·kOB(kAB>0)．(ⅰ)求证：

21、OA

22、2＋

23、OB

24、2为定值；(ⅱ)设△AOB的面积为S，当S取得最大值时，求直线AB的方程．解：(1)由题意可知，a＝2b，故椭圆方程可化为＋＝1，∵椭圆过

25、点，∴＋＝1，解得b＝1(负值舍去)，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝kABx＋m(kAB>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵k＝kOA·kOB(kAB>0)，∴k＝＝，化简得kABm(x1＋x2)＋m2＝0，∵A，O，B三点不共线，∴m≠0，∴kAB(x1＋x2)＋m＝0，①由消去y，整理，得(1＋4k)x2＋8kAB·mx＋4(m2－1)＝0，由根与系数的关系可得②Δ＝16(1＋4k－m2)>0，③将②代入①中得kAB＋m＝0(kAB>0)，解得kAB＝，则④(ⅰ)证明：

26、OA

27、2＋

28、OB

29、2＝x＋y＋x＋y＝x＋x＋2＝[(x1＋

30、x2)2－2x1x2]＋2，将④代入得

31、OA

32、2＋

33、OB

34、2＝×[4m2－2×2(m2－1)]＋2＝5.(ⅱ)设点O到直线AB的距离为d，则S＝

35、AB

36、·d＝

37、x1－x2

38、·＝

39、m

40、＝

41、m

42、.由③及kAB＝可得m∈(－，0)∪(0，)，则S＝

43、m

44、＝≤＝1，当且仅当m＝±1时，等号成立．∴S取最大值时，直线的AB方程为y＝x＋1或y＝x－1.4．(2018·宝鸡质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，

45、·＝0，求

46、

47、＋

48、

49、的取值范围．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，此时S△PF1F2＝

50、F1F2

51、·

52、OP

53、＝bc，所以bc＝4，因为e＝＝，所以b＝2，a＝4，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由(1)得，F1的坐标为(－2,0)，因为·＝0，所以AC⊥BD，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得

54、

55、＋

56、

57、＝6＋8＝14.②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，设其方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，由得(3＋