《 “数形结合”在初中数学中的运用》.doc

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1、“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充•“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种

2、重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位.要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把儿何问题代数化）；（2）利用而积、距离、角度等儿何量来解决儿何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数硏究角的大小、利用线段比例证明相似等.例1.己知平面直角坐标系中任意两点yj和凤与％）之间的距离可以用公式AB=7（xi-x2）2+（V

3、-V2）2计算.利用这个公式计算原点到

4、直线y=2兀+10的距离.解：设P32X+10）是直线y=2x+10上的任意一点，它到原点的距离是OP=7（^-0）2+（2^+10-0）2=75（^+4）2+20当x=-4时，0心小=2a/5•所以原点到直线y=2x+l0的距离为2舲.【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平而儿何的一大难点）.在高中“解析儿何”里，我们将专门学习利用坐标将儿何问题代数化.例2.已知AABC的三边长分别为莎-n2、2mn和in1+/?'（/〃、门为正整数，且加＞n）.求AABC的面积（用含

5、〃人的代数式表示）.【分析】已知三角形三边求而积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用.本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处.代数运算比较过硕的人可能利用平方差公式就可以心算出来：（m2+n2）2-（/n2-n2）2=（2w2）（2n2）=（2mn）2,也就是说，AABC的三边满足勾股定理,即ABC是一个直角三角形.“海伦公式”：三角形三边长为乩b、c,p为周长的一半，则三角形的而积S为：s=jP（P_必P_b）（p_c）.解：由三边

6、的关系：（加‘一斤于+（2加力）'=（〃『+/?于・所以ABC是直角三角形.所以AABC的面积=—•（亦一n2）（2加?）=mn（m2-rr）.【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法.另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用.代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.例3.直线y=bx+c与抛物线y=ax1相交，两交点的横坐标分別为兀］、x2,直线y=bv+c与/轴的交点的横坐标为召.求证:【分析】本题

7、是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于&、方、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦.如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦.解：・・•直线y=hx+c与x轴的交点的横坐标为禺，T直线y=bx+c与抛物线y=ax2两交点的横坐标分别为尤「x2，•••x2为关于x的一元二次方程处2-bx-c=O的两个不等实根.ahX]x2XjX2/////例4.将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.【分析】这是一类很常见的问题.如

8、果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了.但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用而积算出剪拼出来的正方形边长应该是厉•现在我们只需要在图中找出来一段边长为亦的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了.【说明】有人把这种方法叫做“而积法"，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质•“面积"是剪拼问题小的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题,都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算.另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度

9、来刻画“图形”的大小特征的一个概念.因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现.二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦.几何直观运用于代数主耍有以下几个方面：(1)利用儿何图