相关分析与一元回归分析.ppt

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1、第9章相关分析与一元回归分析9.1相关分析9.2回归分析第9章相关分析与一元回归分析变量之间的关系可以分为函数关系和相关关系两类，函数关系表示变量间确定的对应关系，而相关关系则是变量间的某种非确定的依赖关系．相关分析主要是研究随机变量间相关关系的形式和程度，在相关关系的讨论中，两个变量的地位是同等的，所使用的测度工具是相关系数；而回归分析则侧重考察变量之间的数量伴随关系，并通过一定的数学表达式将这种数量关系描述出来，用于解决预测和控制等实际问题．本章主要学习相关分析和一元回归分析的有关概念、理论和方法．第9章相关分析与一元回归分析【回归名称的来历】“回归”这一词最早出现在1885年，英国

2、生物学家兼统计学家—弗朗西斯高尔顿（FrancisGalton）在研究遗传现象时引进了这一名词．他研究分析了孩子和父母身高关系后发现：虽然高个子的父母会有高个子的后代，但后代的增高并不与父母的增高等量．他称这一现象为“向平常高度的回归”．第9章相关分析与一元回归分析【回归名称的来历】虽然高个子的父母会有高个子的后代，但后代的增高并不与父母的增高等量．他称这一现象为“向平常高度的回归”．尔后，他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据，分析出儿子的平均身高和父亲的身高x大致为如下关系：(英寸)【回归名称的来历】这表明：(1)父亲身高增加1英寸，其儿子的身高平均增加0.516英寸．(

3、2)高个子父辈有生高个子儿子的趋势，但儿子的平均身高要比于父辈低一些．如x=80，那么低于父辈的平均身高．(3)低个子父辈的儿子们虽为低个子，但其平均身高要比于父辈高一些．如x=60，那么，高于父辈的平均身高．【回归名称的来历】可见儿子的高度趋向于“回归”到平均值而不是更极端，这就是“回归”一词的最初含义．诚然，如今对回归这一概念的理解并不是高尔顿的原意，但这一名词却一直沿用下来，成为数理统计中最常用的概念之一．回归分析的思想早已渗透到数理统计学科的其他分支，随着计算机的发展和各种统计软件的出现，回归分析的应用越来越广泛．第9章相关分析与一元回归分析9.1相关分析在大量的实际问题中,随机

4、变量之间虽有某种关系,但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述．例如，人的身高与体重之间有一定的关系，知道一个人的身高可以大致估计出他的体重，但并不能算出体重的精确值．其原因在于人有较大的个体差异，因而身高和体重的关系，是既密切但又不能完全确定的关系．随机变量间类似的这种关系在大自然和社会中屡见不鲜．第9章相关分析与一元回归分析9.1相关分析例如，农作物产量与施肥量的关系商业活动中销售量与广告投入的关系人的年龄与血压的关系每种股票的收益与整个市场收益的关系家庭收入与支出的关系等等．9.1相关分析这种大量存在于随机变量间既互相联系，但又不是完全确定的关系，称为相关关系．从数量的角度去研究

5、这种关系，是数理统计的一个任务．这包括通过观察试验数据去判断随机变量之间有无关系，对其关系大小作出数量上的估计，我们把这种统计分析方法称为相关分析．相关分析通常包括考察随机变量观测数据的散点图、计算样本相关系数以及对总体相关系数的显著性检验等内容．9.1.1散点图散点图是描述变量之间关系的一种直观方法．用坐标的横轴代表自变量X，纵轴代表因变量Y，每组观测数据(xi，yi)在坐标系中用一个点表示，由这些点形成的散点图描述了两个变量之间的大致关系，从中可以直观地看出变量之间的关系形态及关系强度．图9.1是不同形态的散点图．(a)(b)(c)(d)(a)(b)(c)(d)从散点图可以看出，变量

6、间相关关系的表现形态大体上可分为线性相关、非线性相关、不相关等几种．9.1.1散点图(a)(b)(c)(d)就两个变量而言，如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相关,如图9.1(a)和(b)；如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非线性相关或曲线相关,如图9.1(c)；如果两个变量的观测点很分散，无任何规律，则表示变量之间没有相关关系,如图9.1(d)．9.1.1散点图通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态做出大致的描述但散点图不能准确反映变量之间的关系密切程度．因此，为准确度量两个变量之间的关系密切程度，需要计算相关系数．9.1.1散点图

7、9.1相关分析9.1.2相关系数相关系数是对两个随机变量之间线性关系密切程度的度量．若相关系数是根据两个变量全部数据计算的，称为总体相关系数．设X，Y为两个随机变量，由定义4.5知，当D(X)D(Y)0时，总体相关系数的计算公式为：其中Cov(X，Y)为变量X和Y的协方差，D(X)和D(Y)分别为X和Y的方差．9.1.2相关系数设(xi，yi)，i=1，2，…，n，为(X，Y)的样本，记定义9.1若sxsy0，称为{xi}和{y