三次样条函数三弯矩算法.docx

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1、摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。正如我们所知道的分段线性插值，逼近程度好，但光滑性差。分段三次Hermite插值，逼近程度好，光滑性也有所

2、提高，但是需要增加更多的条件，不太实用。因此，我们将介绍一种结合二者的优点的插值方法——三次样条插值。本实验将介绍三次样条插值的三弯矩算法。关键词：龙格现象三弯矩算法代数精度分段三次Hermite插值61、实验目的1)通过本次实验体会并学习三次样条插值的优点。2)通过对三次样条插值进行编程实现，提高自己的编程能力。3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法流程如果已知函数在节点a=x0

3、称Sx是三次样条插值函数。Sx的具体形式为：其中Si(x)在xn-1,xn上是三次多项式Six=aix3+bix2+cix+di由插值条件Sxi=yi，i=0,1,2,…,n，得n+1个条件。边界条件一：S'x0=y0',S'xn=yn'边界条件二：S''x0=y0'',S''xn=yn''边界条件三：假定函数y=f(x)是以b-a为周期的周期函数，这时要求S(x)也是周期函数，即Sx0+0=S(xn-0)S'x0+0=S'xn-0S''x0+0=S''xn+06针对三种边界条件的求解方法的不同，可以分为三转角算法和三弯矩算法，本实验将介绍和学习三转角算法。三弯矩算法：

4、在每个子区间xn-1,xn，因为Sx是三次多项式，所以S''x是一次多项式，假设节点xi处S''xi=Mi,i=0,1,2,⋯,n则在xn-1,xn上Si''x=x-xixi-1-xiMi-1+x-xi-1xi-xi-1Mi=xi-xhiMi-1+x-xi-1hiMi对上式积分两次得Six=Mi-1(xi-x)36hi+Mi(x-xi-1)36hi+Cixi-x+Di(x-xi-1)其中Ci和Di的值为任意常数，由端点值可以求得。显然只要确定出Mi(i=0,1,2,⋯,n)就能求出Six，进而得到三次样条函数S(x)。关于Mi，我们利用样条函数在节点xi处一阶导数连续来

5、确定。3、算法实例已知函数y=f(x)的如下表的数据i0123xi1245yi1342求满足自然边界条件S''x0=S''x3=0的f(3)的近似值解：根据题意可知，函数在区间两端的二阶导数，因此可知应该用三弯矩算法来实现，具体程序如下：#include"stdio.h"#defineN4voidmain(){inti,k;floatX,s,y0,yn;floata[N][N+1],h[N],u[N],v[N],g[N],m[N],p[N],q[N],w[N];printf("pleaseinputX:");//X为未知数的大小scanf("%f",&X);6print

6、f("pleaseinputx:");//输入x的大小for(i=0;i

7、a[i-1][1])/h[i];}printf("t(1)已知边界条件1");printf("t(2)已知边界条件2");printf("请选择边界条件序号:");scanf("%d",&k);if(k==1){printf("请输入y0和yn的一阶导:");//输入边界条件一scanf("%f%f",&m[0],&m[N-1]);p[0]=0;//用追赶法求解m[N]q[0]=0;g[1]=g[1]-v[1]*m[0];g[N-2]=g[N-2]-u[N-2]*m[N-1];for(i=1;i