模糊数学2-3.ppt

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1、《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><第三节模糊等价矩阵（一）普通关系若集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的，称R是等价关系。设A为非空集，S={S1,S2,…,Sm},①SiA;②Si(i=1…m);③S1∪S2∪...∪Sm=A;④Si∩Sj=(i,j=1…m,ij)则称S是A的划分（分类）。><【定理1】集合A上的等价关系R，诱导了A的一个划分（分类）。该划分（分类）就是商集A/R。【定理2】集合A的任一划分S（分类）诱导了A的一个等价关系R。若S={S1,S2,…,Sn}，则R=S1S

2、1∪S2S2∪…∪SnSn。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><“同年龄”是人群中的一个等价关系，故按照年龄便可将人群分类，而“同学”关系满足自反性、对称性，但不具有传递性,故按照“同学”关系不能将人群分类，像这种具有自反性、对称性，但不具有传递性的普通关系，我们称之为普通的相似关系，按照相似关系是不能进行分类的。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><【定义1】设论域X={x1,x2,…,xn},R为X上的模糊关系，即R=（rij）nn,若满足：(1)自反性：I≤R(rii=1）

3、；(2)对称性：RT=R(rij=rji)；(3)传递性：R2=RR≤R(）,则称R为模糊等价矩阵。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵（二）模糊等价矩阵及其性质根据自反性、传递性的定义知RR＝R《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><容易证明R满足自反性、对称性和传递性，故R是模糊等价矩阵。><【定理1】若R是模糊等价矩阵∈[0,1]，R是等价的Boole矩阵.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵定理的重要性：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵而每一个R

4、描写一个普通的等价关系，等价关系可以将X分类，按R分类时，xi与xj归为同一类rij=1，当从1降至0时，R将不断发生变化。><【定理2】若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤＜≤1,R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><例2设论域X={x1,x2,…,x5}，分别取=1，取=0.9，取=0.85，取=0.8，取=0.2，将X进行模糊分类。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><需指出，若R是模糊等价矩阵可直

5、接进行分类，然而，通常在实际聚类问题中产生的R仅具有自反性、对称性，而不具有传递性，即R往往只是模糊相似矩阵，据此不能够直接分类，故必须对相似矩阵R进行改造。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵（三）模糊相似矩阵及其性质【定义2】设RF(XX），即模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.其中隶属度R(x,y)表示(x,y)的相似程度

6、。例如，人群当中的“相像”关系，“同学”关系都是模糊相似关系，故不能将人群按此关系分类。><《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵【定义3】设论域X={x1,x2,…,xn},R为X上的模糊关系，即R=（rij）nn,若满足：(1)自反性：I≤R(rii=1）；(2)对称性：RT=R(rij=rji)；则称R为模糊相似矩阵。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><【定理3】若R是模糊相似矩阵，则k∈N，Rk是模糊相似矩阵.回忆：包含模糊矩阵R的“最小”的传递模糊矩阵叫做R的传递闭包，记成

7、t(R).即t(R)满足：t(R)t(R)t(R);(传递性)t(R)R；(包含性)任一模糊矩阵S，若满足SSS，且SR，则t(R)S。(最小性)><【定理4】模糊相似矩阵R=（rij）nn，则存在一个最小自然数k(k≤n)，使得传递闭包对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk。此时t(R)为模糊等价矩阵。《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><定理4可知，对于任意lk，必有t(R)=Rk=Rk+1=Rk+2=…因此求模糊相似矩阵R=（rij）nn的传递闭包时，可利用逐次“平方法”:RR2R

8、4R8…R2k…直至出现k0,使:《模糊数学》第二章模糊关系与模糊聚类分析第三节模糊等价矩阵><注:(1)对n阶模糊相似矩阵,至多只需[log2n]+1步即可求得t(R).([x]表示不超过x的最大